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 Une jolie inégalité combinatoire.

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mathman
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MessageSujet: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptyMer 02 Mai 2007, 17:01

Soient P_1, ..., P_n des points dans le carré unité.
Soit x_i la plus petite distance de P_i à n'importe lequel des P_j, j \neq i.
Prouver que x_1² + ... + x_n² <= 4.
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptyJeu 24 Mai 2007, 22:07

Bonsoir mathman , jolie inégalité combinatoire lol!
Notons C le carré unité et soit Ci le carré de centre Pi dont les côtés sont parrallèles à ceux de C et de mesure xi.
L'idée est de remarquer qu'au moins l'un des quatres carrés (de sommet Pi et de côté de mesure xi/2)
constituant Ci est contenu dans C et puis que ces n (quarts de) carrés sont d'intérieurs disjoints.
La somme de leurs aires est donc inférieure ou égale à l'aire de C farao (sauf erreur bien entendu)
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mathman
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptyVen 15 Juin 2007, 20:52

elhor_abdelali a écrit:
Bonsoir mathman , jolie inégalité combinatoire lol!
Laughing

Sinon, peux-tu détailler ta preuve?
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptySam 16 Juin 2007, 10:54

Bonjour mathman ;
voir ici http://www.ilemaths.net/forum-sujet-140532.html farao (sauf erreur bien entendu)
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mathman
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptySam 16 Juin 2007, 11:49

Ok, merci. Smile

elhor_abdelali a écrit:
Comme et les deux carrés et de centres respectifs et , de côtés respectifs et
et dont l'un des côtés et paralléle à (voir dessin) sont d'intérieurs disjoints.
Comment peux-tu choisir les C_i de telle façon qu'ils aient un côté parallèle à (P_iP_j) pour tout j?
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptySam 16 Juin 2007, 12:39

OK , il y'a effectivement un problème dans le choix des Ci ce sont plutôt des Cij affraid
Sinon as tu une solution plus rigoureuse ? farao (merci)
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mathman
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptySam 16 Juin 2007, 13:01

Ok.

En fait, au début (quand je l'ai postée), je pensais avoir trouvé une jolie solution (dans le même genre que la tienne), mais je me suis ensuite aperçu qu'il y avait une erreur..
Du coup maintenant la seule solution que j'ai est une distinction de je-ne-sais-pas-combien de cas Sad

En fait la difficulté de ce problème provient du fait que les configurations optimales sont différentes, et ont lieu pour des valeurs de n différentes.
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptySam 16 Juin 2007, 13:10

Merci mathman ,
puis je te demander l'origine de ce problème ? (si ce n'est une réflexion personnelle bien entendu) farao
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mathman
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptySam 16 Juin 2007, 13:20

Oui; il a été proposé lors d'un stage d'entraînement aux OIM, mais je n'en connais pas vraiment l'origine..

Camélia a écrit:

Si on prend les n points dans l'hypercube [0,1]^k, et si on garde les définitions, il me semble qu'on démontre exactement de la même manière que
Une jolie inégalité combinatoire. 44ae6f0344052c457eb6ab6eba96253b
Cette généralisation a l'air jolie, ceci dit je ne suis pas convaincu qu'elle soit vraie.

EDIT : ah, peut-être qu'elle est effectivement vraie; du moins je n'ai pas encore trouvé de contre-exemples.
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptySam 16 Juin 2007, 13:46

Ok !
Il me semble que la généralisation proposée par Camélia est fausse si on considére la partie {P1,P2} où ,
[P1P2] est une diagonale du cube [0,1]x[0.1]x[0,1] farao (sauf erreur)
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mathman
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. EmptySam 16 Juin 2007, 13:57

Hmm ah oui Camélia a pris les puissances k-èmes, il faut bien sûr prendre les carrés. (du coup ton contre-exemple n'en est plus un, et c'est à cette généralisation que je pensais, même si j'ai bêtement recopié l'erreur de Camélia dans mon post précédent)

Alors il y aura toujours deux cas d'égalité :
soit tous les sommets du cube,
soit tous les sommets où la somme des coordonnées est paire
(ou tous ceux où la somme est impaire, ce qui est en gros la même chose).
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MessageSujet: Re: Une jolie inégalité combinatoire.   Une jolie inégalité combinatoire. Empty

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