De type fini j'espère que ça signifie "qui a un nombre fini de générateurs". Dans ce cas, soit G de type fini et H un sous-groupe d'indice n. Alors par translation à gauche sur les classes modulo H on obtient un morphisme f de G dans Sym(G/H) qui s'identifie à Sym(n) (groupe symetrique d'ordre n). Il n'y a qu'un nombre fini de tels morphismes car G est de type fini. Donc il n'y a qu'un nombre fini de tels sous-groupes (il est clair que le morphisme détermine uniquement le sous-groupe).
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