olympiades 2007 6eme test ex2

f est une application de N* dans N* verifiant
f(n+f(n))=f(n) (qlqsoit n de N*)
1)montrer que si f(N*) est un ensemble fini alors f est periodique.
2)donner un exemple de fonction f verifiant la condition f(n+f(n))=f(n)et qui ne soit pas periodique

1)
en remplacant n par n+f(n) dans la relation f(n+f(n))=f(n)
on trouve f(n+2f(n))=f(n)
si on fait la meme operation k-1 fois, on trouve:
klk soit k dans N, f(n+kf(n))=f(n).
on a f(N*) fini,
soit T=PPCM{f(n |n dans N*)}.
et on a donc klk soit a dans N,et klk soit n dans N*.
il existe k tel que aT=kf(n),
donc f(n+aT)=f(n+kf(n))=f(n).

C/C: f est periodique.

Bonjour aannoouuaarr,

Pour le 1), je n'ai rien à ajouter à la bonne démonstration de pilot_aziz

Pour le 2), je propose la fonction suivante :

f(2^a(2k+1)) = 2^(a+1)

f vérifie bien l'équation, puisque si n=2^a(2k+1), n+f(n)=2^a(2(k+1)+1) et évidemment f(n+f(n))= f(2^a(2(k+1)+1))=2^(a+1)=f(n)

De plus, f(2^n)=2^(n+1) et fonc f(N*) n'est pas un ensemble fini, donc f ne peut être périodique (puisque toute fonction de N* dans N* périodique de période T a nécessairement une image comprenant au plus T éléments).

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Patrick

slu pco
c le meme exemple k g fé moi ossi (f(2^n(2k+1))=2^(n+1))

aannoouuaarr a écrit:

slu pco
c le meme exemple k g fé moi ossi (f(2^n(2k+1))=2^(n+1))

Oui, on pourrait d'ailleurs en donner d'autres du même genre :

f(3^n(3k+1))=f(3^n(3k+2)) = 3^(n+1)

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Patrick

en general on peut prendre comme exemple toute fonction de la forme f(n^p*C)=n^(p+1) avec ( n ne divise pas C)