f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n

Déterminer toutes les fonctions f : N -->N telles que, pour tout entier n >= 0 :
f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n

f(p) supérieur ou égale a 0 pour tout p

f(f(f(0))) + f(f(0)) + f(0) = 0

or chaque terme est positif donc ils sont tous nuls
donc f(0)=0

et donc pour tout p on a f(p) différent de 0 car sinon 0+0+0=3*p

f(1)+f(f(1))+f(f(f(1)))=3 avec donc chaque terme supérieur ou égale à 1 donc ils sont tous égaux à 1 et f(1)=1

de plus f injective car f(p)=f(n) => 3p=3n
et surjective car pour tout n il existe k tel que f(k)=n
et on a 3*k=n+f(n)+f(f(n))

par récurence (initialisée en haut pour n=1) on pose f(n)=n
on a alors f(n+1) supérieur ou égale à n+1 et donc f(f(n+1)) et f(f(f(n+1))) aussi
et donc (leur somme fait 3n+3) ils sont tous égaux à n+1
récurence achevée

f(n)=n

Raa23 a dit :on a alors f(n+1) supérieur ou égale à n+1
je ne voit pas ce qui vous fait dire cela
Raa23 a dit :et donc f(f(n+1)) et f(f(f(n+1)))
je ne voit pas comment vous avez conclus
priere de m'expliquer un peut plus clairement[/u]

f est injective et par recurence (jusk'a n) f(n)=n
donc f(n+1)=p avec p> ou égale à n+1
de meme f(f(n+1))=f(p) (avec p>n) donc f(p)>n et ainsi de suite