f(x²-y²)= (x-y)(f(x)+f(y))

Déterminer toutes les fonctions f : R-->R telles que, pour tous réels x, y :
f(x²-y²)= (x-y)(f(x)+f(y))

bonjour
j'ai besoin qn'on confirme ma solution
on pose f(x)=axt(x)
on remplace dons l'equation et ca donne
(x+y)t(x²-y²)=xt(x)+yt(y)
pour x=y on a 2xt(0)=2xt(x)
alors t(x)=c
donc la solution est la fonction f(x)=bx
reciproquement cette derniere realise l'equation

Bonjour Wiles

Je pense que ton raisonnement n'est pas complètement correct :

wiles a écrit:

on pose f(x)=axt(x)
on remplace dons l'equation et ca donne
(x+y)t(x²-y²)=xt(x)+yt(y)

Pas vraiment.
Cela donne (x-y)(x+y)t(x²-y²)=(x-y)(xt(x)+yt(y)) pour tous x, y non nuls
Si x est différent de y, on peut alors diviser par x-y et on a :

(x+y)t(x²-y²)=xt(x)+yt(y) pour tous x,y non nuls et différents entre eux

wiles a écrit:

pour x=y on a 2xt(0)=2xt(x)

Et là tu ne plus faire x=y puisqu'alors la propriété que tu utilises n'est pas vérifiée (cf. ci-dessus)

--
Patrick

oué je comprend. merci

Bonsoir ;
On a clairement f(0)=0 et en faisant y=-x on a f(0)=0=2x(f(x)+f(-x))
f est donc impaire
notons a=f(1) pour tout réel x=sh(t) on a :
a=f(ch²(t)-sh²(t))=(ch(t)-sh(t))(f(ch(t))+f(sh(t))) et donc
f(ch(t))+f(sh(t))=a.exp(x) et l'imparité de f donne :
f(ch(t))-f(sh(t))=a.exp(-x) d'où :
f(sh(t))=a.sh(t) soit f(x)=a.x (sauf erreur bien entendu)

Bonjour,

elhor_abdelali a écrit:

...
f(ch(t))+f(sh(t))=a.exp(x) et l'imparité de f donne :
f(ch(t))-f(sh(t))=a.exp(-x) d'où :...

Lire exp(t) au lieu de exp(x).

Ah oui, très originale façon d'arriver au résultat. Bravo!

Plus classiquement, après avoir démontré que f est impaire, on peut écrire :
E1 : f(x^2-y^2)/(x-y) = f(x)+f(y)
E2 : f(x^2-y^2)/(x+y) = f(x)-f(y)

E1+E2 : f(x)/x = f(x^2-y^2)/(x^2-y^2)
E1-E2 : f(y)/y = f(x^2-y^2)/(x^2-y^2)

Et donc f(x)/x = f(y)/y = constante, et donc f(x)=ax.

--
Patrick

Bien vu Abdelali et pco.
f impaire ==> yf(x)=xf(y) ==> f(x)=xf(1)

wiles a écrit:

bonjour
j'ai besoin qn'on confirme ma solution
on pose f(x)=axt(x)
on remplace dons l'equation et ca donne
(x+y)t(x²-y²)=xt(x)+yt(y)
pour x=y on a 2xt(0)=2xt(x)
alors t(x)=c
donc la solution est la fonction f(x)=bx
reciproquement cette derniere realise l'equation

en fait le probleme de ta démonstration (je faisai la meme erreur) c'est que tu considere a la base que t(x) est continue alors que rien ne le prouve