une suite periodique

on definie la suite X_n comme suit:
X_0 est un entier naturel
X_(n+1)=X_n/4 si Xn=0(mod 4)
X_(n+1)=7X_n-1 si Xn=1(mod 4)
X_(n+1)=X_n/2+2007 si Xn=2(mod 4)
X_(n+1)=7X_n+1 si Xn=3(mod 4)
montrer qu'il existe un entier naturel k tel que la suite X_k,X_(k+1),X_(k+2) .... soit periodique
( a=b(mod x) <==> x divise a-b )