- pco a écrit:
- Je comprends que tu veux démontrer que g(x) est nécessairement nulle.
Mais cela ne me paraît absolument pas trivial.
Bon, j'en ai trouvé une, pas vraiment facile. J'espère que tu as plus simple.
P1: g(x)=-xg (1/x) ; pour tout x de Q+.
P2: g(x)=g (1+2x) ; pour tout x de Q+.
1) En utilisant P1 avec 1, on a g(1)=0
2) P3 : pout tous p,q entiers non nuls, pour tout n>=0, pour tout e de {-1,+1}, si les entiers a et b vérifient (a+b)=2^n(p+q) et si a=e*q modulo (p+q), alors g(a/b)=g(p/q) (-e*q)/b
Démonstration par récurrence sur n :
2.1) n=0. Alors a+b=p+q.
Si e=1, a=q modulo (p+q) et donc a=q et b=p ==> g(a/b)=g(q/p)=-(q/p)g(p/q)=g(p/q) (-e*q)/b. CQFD
Si e=-1, a=-q modulo (p+q) et donc a=p et b=q ==> g(a/b) = g(p/q) = g(p/q) (-e*q)/b; CQFD
2.2) Si n>0
2.2.1) Si a=b :
On a a=e*q[p+q], donc b=e*p[p+q] (puisque a+b=0[p+q]). Si a=b, on a donc e*p=e*q [p+q] et donc p=q. Donc g(a/b)=g(p/q)=g(1)=0 et P3 est vérifiée.
2.2.2) Si a>b :
a+b est pair (a+b=2^n(p+q) et n>0), donc a-b également.
Soit alors u=(a-b)/2 et v=b
On a (u+v)=(a+b)/2 = 2^(n-1)(p+q)
On a donc u=-v [p+q], soit u=-b[p+q] et donc u=a [p+q] (puisque a+b=0[p+q], et enfin u=e*q [p+q] puisque a=e*q[p+q]
u et v respectent donc la relation de récurrence, considérée vraie pour n-1, et donc :
g(u/v)=g(p/q)(-e*q)/v
Mais, d'après P2, g(u/v) = g(2*u/v + 1) = g(2*((a-b)/2)/b +1)=g(a/b)
Donc g(a/b)=g(u/v)=g(p/q)(-e*q)/v = g(p/q)(-e*q)/b. CQFD
2.2.3) Si a<b
En faisant u=b et v=a, On est dans le cas 2.2.2 ci dessus (avec e devenu -e) et on a donc g(u/v) = g(p/q)(e*q)/v
Mais g(u/v)=g(b/a)=-(b/a)g(a/b)
Donc (-b/a)g(a/b)=g(p/q)(e*q)/v=g(p/q)(e*q)/a
et donc g(a/b)=g(p/q)(-e*q)/b. CQFD
P3 est donc vraie.
3) Si p+q est impair, pour p et q entiers non nuls, g(p/q)=0.
p+q étant impair, et en appelant a=phi(p+q) (phi fonction indicatrice d'Euler), on 2^a=1[p+q] et donc 2^a=k(p+q)+1, et donc (2^a)p=kp(p+q)+p=(kp+1)(p+q)-q
Soient alors u=(kp+1)(p+q)-q et v=(2^a)(p+q)-u
Notons que v est >0 car 2^a=k(p+q)+1>kp+1 et donc (2^a)(p+q) > (kp+1)(p+q)>u
On a u+v=(2^a)(p+q) et u=-q [p+q]
On peut alors appliquer P3 (voir 2. ci dessus) et on a g(u/v)=g(p/q)(q/v)
Mais, par construction, u=(2^a)p et, puisque u+v=(2^a)(p+q), v=(2^a)q
Donc u/v=p/q et donc g(u/v)=g(p/q)=g(p/q)(q/v)=g(p/q)2^(-a)
Donc g(p/q)=0
CQFD
4) Si p+q est pair, pour p et q entiers non nuls, g(p/q)=0.
On peut le démontrer par récurrence sur p+q:
4.1) Si p+q=2, pour p et q entiers non nuls, g(p/q)=0.
évident puisque on a nécessairement p=q=1
4.2) Si p+q > 2 et pair, alors
4.2.1) Si p> q
Soient u=(p-q)/2 et v=q
u+v=(p+q)/2
Si u+v est impair, g(u/v)=0 d'après 3)
Si u+v est pair, et comme u+v < p+q, g(u/v)=0 grace à l'hypothèse de récurrence
Mais on a p/q = 2(u/v)+1 et donc g(p/q)=g(u/v) d'après P2, et donc g(p/q)=0. CQFD
4.2.2) Si p<q
g(q/p)=0 d'après 4.2.1
g(p/q)=-(p/q)g(q/p)=0
Et donc g(p/q)=0. CQFD
Et donc, en conclusion, g(x)=0 pour tout x de Q+
Et je suis vraiment intéressé par une démonstration plus simple.
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Patrick
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