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 problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)

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samir
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MessageSujet: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 28 Mai 2007, 17:44


_________________
وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده


Dernière édition par le Lun 28 Mai 2007, 17:58, édité 1 fois
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 28 Mai 2007, 17:46

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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Raa23
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 28 Mai 2007, 21:46

Solution postée
voici la solution de Raa23
on a en gros un polynome du 2nd degré en b qui est toujours positif ou
nul
donc son determinant D est négatif ou nul
or D=(a-c)^2(M-3)(M+1)<=0
donc -1<=M<=3

Raa23
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Jamel Ghanouchi
Débutant


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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 28 Mai 2007, 22:07

Bonsoir,
Solution postée !
cordialement
voici la solution de jamel

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oumayma
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 28 Mai 2007, 22:09

bonsoir
je voudrais tout simplement savoir a quelle année scolaire
ce probléme est il destiné?
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neutrino
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MessageSujet: blème de la semaine   Lun 28 Mai 2007, 22:52

BSr tout le monde c ma première participation Very Happy

solution postée!!! Very Happy
voici la solution de neutrino
slt Mr samir
voici la solution de neutrino

on c que a²+b²+c²-ab-bc-ca >=0 ( on pe la démontrer à partir de (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²>=0 )

donc M=0

et on a:

a²+b²+c²-ab-bc-ca-M(a-b)(b-c)>=0

<==>

a²+b²+c²-ab-bc-ac-M(ab-ac-b²+bc)>=0

<==>

a²+b²+c²-ab-bc-ac-M( -[(a-b)²-(a²+b²)]/2 +[ (a-c)²-(a²+c²)]/2 - b² - [ (b-c)²-(b²+c²)]/2 )>=0

a²+b²+c²-ab-bc-ac-M( -(a-b)²/2 +(a-c)²/2 - ( b-c)²/2 +2b² ) >= 0

(a-b)²/2 + (a-c)²/2 + (b-c)²/2 -M( (a-b)²/2 +(a-c)²/2 - ( b-c)²/2 +2b² ) >= 0

[(a-b)²/2][1+M] + [(a-c)²/2][1-M] + [ (b-c)²/2][1+M] - 2Mb² >= 0

[1+M] [ (a-b)²/2 + (b-c)²/2] + [(a-c)²/2][1-M] - 2Mb²>=0

on sait que pour qu'une somme soit postitive un terme au minimum doit etre positif

supposons que [1+M] [ (a-b)²/2 + (b-c)²/2]>=0
donc:
1+M >=0

M>=-1

supposons [(a-c)²/2][1-M]>=0
donc
1-M>=0

M<=1

supposons que - 2Mb²>=0
donc

M<=0

et les valeurs de M sont logiques et convenables pour les trois suppositions ensemble



conclusion: M=0 et -1<=M<=1

j'espere que c juste , sauf une erreur de frappe bien sur
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Mar 29 Mai 2007, 10:00

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour,
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)>=2M(a-b)(b-c)
Posons x=a-b et y=b-c. L'inégalité devient: x²+y²+(x+y)²>=2Mxy
Ou encore, x²+y²>=(M-1)xy.
Mais, inf{t²-t(M-1)+1 / t dans IR}=(3-M)(1+M)/4
Donc, x²+y²>=(M-1)xy <==> M dans [-1,3].
A+

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وقل ربي زد ني علما
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Conan
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Mar 29 Mai 2007, 14:35

salut les amis

est ce que , on doit cherché aussi M selon a et b et c ? study
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Raa23
champion de la semaine
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Mar 29 Mai 2007, 15:35

oumayma a écrit:
bonsoir
je voudrais tout simplement savoir a quelle année scolaire
ce probléme est il destiné?

c'est adressé a tout le monde a partir du college je croi

Conan a écrit:
salut les amis

est ce que , on doit cherché aussi M selon a et b et c ? study

M ne dépend pas de a,b ou c je pense d'apres l'enoncé
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aissa
Modérateur


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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Mer 30 Mai 2007, 13:35

solution postée
voici la solution d'aissa
SALUT SAMIR
on sait que |(a-b)(b-c)| =< [(a-b)²+(b-c)²]/2
alors : |(a-b)(b-c)|=< (a²+c²)/2 +b²-ab-ac=<a²+b²+c²-ab-bc-ac . on a égalité pour a=b=c.
donc l'ensemble des valeurs de M est :]-oo,1].

وحسبي انا من عطايى الوجود شعور نقي وعثل منير
اذا كان همي شراب وقوت فما الفرق بيني وبين الحير
?
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khamaths
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Mer 30 Mai 2007, 15:42

Bonjour
Solution postée.
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

posons : S = a² + b² + c² - ab - bc - ac

Par symétrie des rôles : supposons : a <= b <= c

S >= M (a-b)(b-c) <===> S - (a-b)(b-c) >= (M-1)(a-b)(b-c)
<===> (a-b)² + (b-c)² >= (M-1) (a-b)(b-c) (I)
° Si M <= 1 : ( I ) est vraie
° Si M > 1 : ( I ) <===> 0 < M-1 <= 2
<===> 1< M <= 3
Conclusion: pour tt M <= 3 on a le résultat
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radouane_BNE
Modérateur
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Masculin Nombre de messages : 1488
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Date d'inscription : 11/01/2006

MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Mer 30 Mai 2007, 17:16

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
solution postée.

voici la solution de boukharfane
Salut tout le monde et bonne chance à ceux qui vont passer le baccalauréat.

On va commencer par trouver les valeurs de M qui peuvent marcher.

Posons b=0 ; on obtient a²-ac+c²+Mac>=0.pour que M soit valables pour tout a et c de IR, on dans le premier cas choisit a=c=-1 ce qui implique M>=-1 et dans le deuxième cas a=1 et c=-1 ce qui implique m=<3.

Maintenant on va démontrer que toutes les valeurs de M qui appartient à

[-1,3] vérifient l’inégalité.

Pour M=-1. On obtient l’inégalité a²+b²+c²-ab-bc-ca+ (a-b) (b-c)=a²-2ac+c²

= (a-c) ²>=0 ce qui est vraie pour tout a, b et c de IR.

Pour M=3. On obtient:

a²+b²+c²-ab+bc+ca-3(a-b) (b-c) = a²+4b²+c²-4ab+2ac+4bc= (a+c) ²-4b (a+c) + (2b) ²= (a+c-2b) ²>=0 ce qui aussi vraie.

Ce qui concerne les valeurs entre -1 et 3 ; si on prend par exemple M=2.

Puisque a²+b²+c²-ab-bc-ca>= -(a-b) (b-c) et a²+b²+c²-ab-bc-ca>=3(a-b) (b-c) alors :

a²+b²+c²-ab-bc-ca >=2(a-b) (b-c).et d’une manière générale, pour tout M de

[-1 ;3] on peut toujours trouver des réels positifs x et y tels que x+y=1 et

3x-y=M.

(Particulièrement si x= (M+1)/4 et y= (3-M)/4 on remarque qu’ils sont tout les deux positifs).

Pour conclure les valeurs possibles de M sont celle de l’intervalle [-1 ; 3].

_________________
Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the the universe
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badr
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Mer 30 Mai 2007, 19:07

[u]solution postee

voici la solution de badr
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Anas_CH
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Mer 30 Mai 2007, 20:16

solution postée cheers
voic la solution d'anas_ch
voila ma methode
on a : a²+b²+c²-ab-ac-bc ≥M(a-b)(b-c)
<=> -b(a-b)+c(a-b)+a²+c²-2ac ≥M(a-b)(b-c)
<=> (c-b)(a-b)+(a-c)²≥M(a-b)(b-c)
<=> -(a-b)(b-c)+(a-c)² ≥M(a-b)(b-c)
<=> (a-c)²≥M(a-b)(b-c)+(a-b)(b-c)
<=> (a-c)² ≥ (M+1)(a-b)(b-c)(1)
on sait que 2(a²+b²+c²)≥2(ab+ac+bc)
donc a²+b²+c² ≥ab+ac+bc <=>a²+b²+c²-ab-bc-ac ≥0
<=> a²-ac-ac+c² ≥-ac+ab-b²+bc
<=>(a-c)² ≥a(b-c)-b(b-c)<=>(a-c)²≥(b-c)(a-b) (2)
et en sait aussi que (a-c)² ≥0(3)
de (1)et(2)et(3) nasstantijo ana M=-1 et M=0 realise l'enegalité qlq soit a et b et et c
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oumayma
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Mer 30 Mai 2007, 21:27

bonsoir tt le monde
solution postée
voici la solution d'oumayma
(a-b)2 =a2+b2-2ab
(a-c)2=a2+c2-2ac
(b-c)2=b2+c2-2bc
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2= 2[a2+b2+c2-ab-ac-bc]

(1 :2)[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]≥M(a-b)(b-c)
Si b=c ou a=b M= R
Si a≠b≠c et (a-b)(b-c)≥0
M≤(1/2)[(a-c)2+(a-b)2+(b-c)2]
Si a≠b≠c et (a-b)(b-c)≤0
M≥(1 :2)[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Jeu 31 Mai 2007, 21:06

Bonsoir Mr SAMIR !!!
Solution au Pb 83 postée ce soir.
Amitiés. LHASSANE
voici la solution de BOURBAKI
Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 83.
Soient a,b et c trois nombres réels donnés ; on notera D l’ensemble décrit par les réels M vérifiant l’inégalité :
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc >= M.(a-b).(b-c) (*)
Observons tout de suite que la majorante est toujours positive, en effet , on peut écrire : a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=(1/2).(a-b)^2+(1/2).(b-c)^2+(1/2).(c-a)^2
Il se dégage alors la discussion suivante :
1) Si a=b alors la minorante est nulle et donc tout réel M satisfait (*) d’où D=IR.
2) Si b=c,on a la même conclusion que précédemment donc aussi D=IR.
3) Si a<>b et b<>c, on a deux sous-cas à traiter :
(i) Si a=c alors (b-c)^2 >= -M.(b-c)^2
Ce qui exige M>= -1 donc D=[-1,+Infini[ .
(ii) Si a<>c auquel cas a,b et c sont 2à2 distincts .
Introduisons la fonction sgn de IR* dans {-1,1} :
par sgn(x)=x/Abs(x) puis posons aussi :

A=(1/2)Abs((a-b)/(b-c))+(1/2)Abs((b-c)/(a-b))+(1/2)Abs((c-a)^2/[(a-b)(b-c)])
Alors (*) s’écrira :
A >=M.sgn(a-b).sgn(b-c)
Cela conduit aux six cas ( permutations de (a,b,c) ) suivants :
On aura D=]-Infini,A] dans les deux cas :
a<b<c ou c<b<a
et enfin D=[-A,+Infini[ dans les quatres cas :
a<c<b
c<a<b
b<a<c
b<c<a
Remarque : le cas (i) correspondant à a=c peut être incorporé à l’un des 4 cas ci-dessus ( par exemple le premier a<=c<b ) puisqu’alors A=1 si a=c.

Ce qui termine la solution.
AMITIES . LHASSANE
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Conan
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 04 Juin 2007, 12:23

Mr Samir

j'ai oublié de dire que j'ai posteé la solution hier a minuit !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

par message privé
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khamaths
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 04 Juin 2007, 12:30

Bonjour Samir

j'ai compris qu'on demandait juste une condition suffisante pour avoir l'inégalitée.
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Conan
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 04 Juin 2007, 12:33

bonjour Mr samir / solution postée (message privé) / pk elle n'est pas la ?
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Raa23
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 04 Juin 2007, 13:14

paske tu l'a postée en message privé!
lis les consignes la prochaine fois
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Conan
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   Lun 04 Juin 2007, 13:16

Raa23 a écrit:
paske tu l'a postée en message privé!
lis les consignes la prochaine fois

ce n'est pas moi le seul , en plus elle est trés bien presentée !!
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MessageSujet: Re: problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)   

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problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)
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