determiner toutes le fonction..

determiner toutes les fonctions de Z ver Z tel que pour tout entier naturelle x , y on a
f(x+f(y))=f(x)-y

y=0 implique
f(x+f(0))=f(x)
donc f(0) est une période de f
x=0 implique f(f(y))=f(0)-y
si y=f(0) on a f(f(f(0)=0=f(f(0))-f(0) (et f(f(0))=f(0))
donc f(0)=0
de manière générale f(x)=f(y) -> f(f(x))=f(f(y)) -> x=y

donc f(f(y)=-y
et f(x-y)=f(x)-f(y)
...(meme démo que celle de pco dans un exo posé précedemment)

Raa23 a écrit:

y=0 implique
f(x+f(0))=f(x)
donc f(0) est une période de f
x=0 implique f(f(y))=f(0)-y
si y=f(0) on a f(f(f(0)=0=f(f(0))-f(0) (et f(f(0))=f(0))
donc f(0)=0
de manière générale f(x)=f(y) -> f(f(x))=f(f(y)) -> x=y

donc f(f(y)=-y
et f(x-y)=f(x)-f(y)
...(meme démo que celle de pco dans un exo posé précedemment)

oui c'est bien
ta trouvé que f(x) est bijective et f(0)=0
mais le résultat doit etre f(x)=...

oui t'a réson son résonnement ne marche pas ici (désolé de m'etre précipité)
en revanche on a
f(x-y)=f(x)-f(y)
donc f(-y)=-f(y) => f impaire
de plus f est surjective car quelque soit z dans Z il existe y telque z+y=f(x0)

f(x+y)=f(x)-f(-y)=f(x)+f(y)

on note f(1)=a
on a alors
f(n+1)=f(n)+a=(n+1)a
or f(f(n))=-n=na^2

donc a^2=-1!!!
donc je pense que ca n'existe pas mais je sens que j'ai fé une erreur quelque part..

Raa23 a écrit:

oui t'a réson son résonnement ne marche pas ici (désolé de m'etre précipité)
en revanche on a
f(x-y)=f(x)-f(y)
donc f(-y)=-f(y) => f impaire
de plus f est surjective car quelque soit z dans Z il existe y telque z+y=f(x0)

f(x+y)=f(x)-f(-y)=f(x)+f(y)

on note f(1)=a
on a alors
f(n+1)=f(n)+a=(n+1)a
or f(f(n))=-n=na^2

donc a^2=-1!!!
donc je pense que ca n'existe pas mais je sens que j'ai fé une erreur quelque part..

oui c ca la bonne réponse
il n'existe pas de fonction qui satisfait ses conditions