matrice A telle que {exp(k A), k dans IN} fini

Caractériser les matrices A de M_n(C) telles que l’ensemble :
{exp(k A), k dans IN} soit fini.

On "jordanise" la matrice en question

On a exp(P×A×P^-1) = P×exp(A)×P^-1 donc on peut se ramener à une matrice "jordanisée".

L'exponentielle exp(k*A) se décompose par blocs du style : e^(µ·k) × \sum k^i/i! * N^i

Où µ est une valeur propre, N est nilpotente et où la somme est finie.

D'où ma proposition : {exp(k A), k dans IN} est fini ssi A est diagonalisable et que ses vp sont des racines truc-ième de l'unité.

La proposition de tµtµ est ......
Soit A=I_n diagonale et ses valeurs propres sont racines truc-ème de l'unité; Mais l'ensemle en question est infinie.

Pour tout k, exp(kI_n)=exp(k)I_n