Suite décroissante de compacts

c'est des compact donc on peut extraire une suite par définission qui va converger dans K
donc K n'est pas vide
la 2eme assertion me semble aussi evidente avec K=lim(Kn)
et en raisonnant sur les "pour tout epsilon"

Voilà ma démarche :Pour la première partie de la question, je dis que tous les sont des parties compactes de qui est compact, donc a fortiori séparé. Donc les sont des fermés De plus, on constate que les ont la propriété d'intersection finie. Donc comme est compact, n'est pas vide.

Mais je sèche sur la deuxième partie de la question... Il faut certainement utiliser l'hypothèse « séparé», n'est-ce pas ?

Soit F le complémentaire de l'ouvert contenant K ==> FnK est vide ==> l'un des FnK_n est vide car sinon la suite (FnK_n) vérifiera aussi la propriété de l'intersection finie.

Christian.Vassard a écrit:

Voilà ma démarche :Pour la première partie de la question, je dis que tous les sont des parties compactes de qui est compact, donc a fortiori séparé. Donc les sont des fermés De plus, on constate que les ont la propriété d'intersection finie. Donc comme est compact, n'est pas vide.

Mais je sèche sur la deuxième partie de la question... Il faut certainement utiliser l'hypothèse « séparé», n'est-ce pas ?

Compact => fermé borné
sa seule utilité et que de toute suite on peut extraire une sous suite convergente