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 problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)

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samir
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MessageSujet: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Lun 18 Juin 2007, 15:53


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samir
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Lun 18 Juin 2007, 15:55

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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abdou20/20
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Lun 18 Juin 2007, 18:51

"solution postée"
(solution non trouvée)(administration)
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Anas_CH
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Lun 18 Juin 2007, 19:23

SOLUTION POSTEE
voici la solution d'anass

on sais que 0 ≤a^3+b^3 (car a et b sont positifs)
on a a^3+b^3 ≤ a-b
si a=b≠0 alors a-b=0 donc a^3+b^3 ≤0 (contradiction) cas suprimé
si a=b=0 alors a²+b²=0 ≤1
si a≠b≠0 alors a-b≠0 et on a a^3+b^3 ≤ a-b
donc (a^3+b^3 )/(a-b)≤ 1
et en a a²+b²-(a^3+b^3 )/(a-b)= (-a²b-ab²)/(a-b)≤0
donc a²+b²≤(a^3+b^3 )/(a-b)≤1
a partir des deux cas possible en deduit que a²+b²≤1
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mni
Maître
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Lun 18 Juin 2007, 20:52

solution postée
voici la solution de mni
slt samir
on a a°3-b°3=(a-b)(a°2+b°2+ab)
donc
a°2+b°2=(a°3-b°3)/(a-b)-ab
on a >0 et b>0
donc
a°3-b°3<a°3+b°3
on a a°3+b°3<a-b
donc a°3-b°3<a-b
ce qui veut dire
(a°3-b°3)/(a-b)<1
alors
(a°3-b°3)/(a-b)-ab<1-ab
ab>0
donc 1-ab<1
conclusion
(a°3-b°3)/(a-b)-ab<1
donc
a°2+b°2<1
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Infophile
champion de la semaine
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Lun 18 Juin 2007, 22:51

Bonjour,
Solution postée.
voici la solution

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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Lun 18 Juin 2007, 22:52

Bonsoir Mr SAMIR!!!
Ma solution postée
voici la solution de BOURBAKI
Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 86.

Les deux nombres a et b sont supposés appartenir à IR+

1er Cas : si b=0 alors l’hypothèse de travail s’écrit a^3<=a
Alors :
Si a=0 , le problème est réglé car alors a^2+b^2=0<=1
Si a<>0 , on divise par a et on obtient a^2<=1 et alors là aussi
le problème est réglé car a^2+b^2=a^2<=1 .

2ème Cas : si b>0 , introduisons le paramètre t réel en posant a=t.b , on a alors t>=0
L’hypothèse de travail s’écrit a^3+b^3=b^3.[1+t^3]<=b.[t-1] soit puisque b>0 b^2 <= [(t-1)/(t^3+1)]
Quant à la conclusion , elle s’écrit a^2+b^2=b^2.[t^2+1] <= 1
Soit b^2 <= 1/[t^2+1]
SI ON PROUVE que [(t-1)/(t^3+1)] <= 1/[t^2+1] alors la conclusion désirée sera satisfaite !!!!
Or prouver que [(t-1)/(t^3+1)]<=1/[t^2+1] est équivalent , tous calculs faits , à montrer que t^2-t+2>=0 ???
Ceci est VRAI puisque t^2-t+2 = [t-1/2]^2+(7/4) >= (7/4)

Ce qui termine la solution.
AMITIES . BOURBAKI
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Jamel Ghanouchi
Débutant


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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Lun 18 Juin 2007, 23:17

Bonsoir,
Solution postée,
cordialement
voici la solution de jamel
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abdelilah
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Localisation : Lblad
Date d'inscription : 22/08/2006

MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Mar 19 Juin 2007, 00:17

solution postée
voici la solution d'abdeilah
si a=b alors a=b=0.
sinon il suffit de montrer que a²+b² \leq (a^3+b^3)/a-b
ou ab²-a²b-2b^3\leq 0
factoriser par b donne en facteur un terme toujours négatif (discriminent=-7a²\ leq 0) CDFD
a+
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http://math4all.jeun.fr/
khamaths
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Mar 19 Juin 2007, 08:52

Bonjour
Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

(*) Si a =b =0 évident

(*) Si a#0 ou b#0

On a : 0 < a^3+b^3 <= a-b
=====> a^3 -a <= 0
=====> b<a <= 1
=====> a² +ab < 2
=====> a²b +ab² -2b <= 0
=====> a-b<= a+b -a²b -ab²
=====> a-b <= (1-ab)(a+b)
=====> a^3 +b^3 <= (1-ab)(a+b)
=====> a²+b² -ab <= 1-ab
=====> a² +b² <= 1
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aissa
Modérateur


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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Mar 19 Juin 2007, 09:51

salut tout le monde
solution postée
voici la solution d'aissa
salut samir
a et b etant positifs et a^3+b^3=< a-b alors o=<b=<a
et on a : 0=< a^3-b^3 =< a^3+b^3 =< a-b
si a=b alors a^3+b^3=0 alors a=b=o ( car si non a^ +b^3>o)
donc a²+b²=0 =<1
si b<a alors (a-b)(a²+b²+ab) =< a-b
alors a²+b²+ab =<1 or ab>=o
donc a²+b²=<1..

je veux je peux
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radouane_BNE
Modérateur
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Mar 19 Juin 2007, 13:40

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
Solution postée.

voici la solution de radouane
On a 0=<a^3+b^3=<a-b =>a>=b.

Si a=b la réponse est triviale (a=b=0). Supposons donc que : a>b d’où a-b>0 ; alors on a : x^3=< x^3+y^3 =< x-y =< x => x =<1.

D’autre part on a (x²+y²)*(x-y) = x^3-y^3-xy*(x-y) =< x^3 =< x^3+y^3 =< x-y => x²+y² =<1.

On peut généraliser ce problème :

Pour tout n>=m>=1 et x>=y>=0 de IR sachant que x^ (n+1) +y^ (n+1)=<x^m-y^m => x^n+y^n=<1.

Si x=y on ne peut démontrer rien. Si x#y =>x>y => x^m>y^m.

Puisque x^ (n+1)=<x^ (n+1) +y^ (n+1)=<x^m-y^m=<x^m et n+1>m donc x=<1.

A l’aide de ces deux conditions n-m>=0 et m>= on obtient :

(x^n+y^n)*(x^m-y^m) = x^ (n+m)-y^ (n+m)-((xy) ^m)*(x^ (n-m)-y^ (n-m))

=<x^ (n+m) =< x^ (n+1) =< x^ (n+1) +y^ (n+1) =<x^m-y^m

Alors la divisions sur x^m-y^m>0 conduit vers la réponse désirée.
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math_pro
Habitué


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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Mar 19 Juin 2007, 18:46

Salam tout le monde,
SOLUTION POSTEE
voici la solution de math_pro
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fermat1988
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MessageSujet: solution postée   Mar 19 Juin 2007, 22:02

voici la solution de fermat1988
on a²+b²<=rac(a+b)rac(a^3+b¨^3) d'apres Caushy-Shwartz
et on rac(a^3+b¨^3)<=rac(a-b)
donc
a²+b²<=rac(a+b)rac(a-b)
et ona:
rac(a+b)rac(a-b)<=rac( a²+b²)
donc

a²+b²<=rac( a²+b²) ssi a²+b²<= 1
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Jeu 21 Juin 2007, 13:16

Bonjour ;
Solution postée farao
voici la solution d'elhor abdelali
a²+b² >= 2ab ==> ab(a²+b²) >= 2a²b² ==> a^4 + b^4 + a^3.b+ a.b^3 >= a^4 + b^4 + 2a²b²
et donc (a+b)(a^3+b^3) >= (a²+b²)² et en utilisant l'hypothèse on a
(a²+b²)² =< a²-b² soit a²+b² =< V(a²-b²) =< a =< 1

bonus : cas d'égalité (a, b)=(1, 0)
Sauf erreur bien entendu
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Jeu 21 Juin 2007, 18:09

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
a,b>=0 et a>=a^3+b^3+b ==> a>=a^3 et a>=b
==> 0=<b=<a=<1
==> (a+b)(1-a²-b²)=a+b-a^3-b^3-a²b-ab²>b(2-a²-ab)>=0
==> a²+b²=<1
A+

_________________
وقل ربي زد ني علما
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badr
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Ven 22 Juin 2007, 17:05

salut!!


SOLUTION POSTEE
voici la solution de badr
on a a^3+b^3<=a-b <====>a^3<=a et b^3<=-b

aet b £ R+ donc 0 <=a²<=1 et b²<=-1 est absurbe car b²>=0

alors b²<=0 ou b²=0

on deduirt que a²+b²<=1
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selfrespect
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MessageSujet: solution posteE   Ven 22 Juin 2007, 19:53

Solution postee°
voici la solution de selfersept
Bonsoir Mr Samir ;
soit a et b >0 verifiants * a^3+b^3=<a-b (on remarque a>b )
*.a+b.* ==>
a^4+b^4+ab(a²+b²)=<a²-b²
==> 0<ab(a²+b²)=<a²-b²-(a+b)(a^3+b²a-a²b-b^3)=(a²-b²)[1-(a²+b²)]
et puisque (a²-b²)>0
on deduit 1-(a²+b²)>0
==> a²+b²<1
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Alaoui.Omar
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Sam 23 Juin 2007, 19:42

Solution postée
voici la solution de Bestfriend
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codex00
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Dim 24 Juin 2007, 14:35

Salut, Smile
Solution postée
voici la solution de codex00
On a :a^3+b^3=<a-b
ainsi: (a+b)(a²+b²-ab)=<a-b
d' ou: a²+b²=<(a-b)/(a+b) +ab

donc: il faut prouver que (a-b)/(a+b) +ab=<1
c.à.d que: a-b+a²b+ab²=<a+b <=> 0=<2b-a²b-ab²
ce qui est vrai en consultatnt le discriminant (delta) de l'equation -x²b-xb+2b=0 tel que x>=0

P.S: si a=b donc a-b=0 ainsi a^3+b^3=<0 et comme (a;b)€IR²+ donc a=b=0 donc a²+b²=0=<1
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FOUAD80
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Dim 24 Juin 2007, 20:05

SALUT TOUT LE MONDE .
SOLUTION POSTEE
voici la solution de Fouad


a^3 + b^3 < = a – b
*on remarque que a – b >= 0 (1) car a > 0 et b > 0
• si a = b
donc 2 a^3 <= 0

a <= 0
mais on a a > 0 donc a # b (2)
de (1) et (2) : a – b > 0
*on a (a – b)^3 = a^3 – b^3 – 3ab.(a – b)
(a – b)^2 = (a^3 – b^3) / (a – b) - 3ab (3)
D’autre part on a : a^3 – b^3 <= a^3 + b^3
Donc : a^3 – b^3 <= a – b
( a^3 – b^3) / (a – b) <= 1 ; (a – b > 0 )
( a^3 – b^3) / (a – b) – 3ab <= 1 – 3ab
Suivant la relation (3) : (a – b)^2 <= 1 – 3ab
a^2 + b^2 <= 1 – ab

lorsque 1 - ab <= 1

donc a^2 + b^2 <= 1
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stof065
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   Dim 24 Juin 2007, 21:27

solution postée
voici la solution de stof065
sllt
on a
si a=b=>a^3+b^3<=0
puisque a^3+b^3 des nombres positifs
a=b=>a=b=0
a²+b²=0<=1(réalisé)
si a#b
on a a-b>=a^3+b^3>0
on deduit que a>b
on a
-b^4<=ba^3+ab^3+b^4
<=>a^4-b^4<=a^4+ba^3+ab^3+b^4
<=>a^4-b^4<=(a+b)(a^3+b^3)<=(a+b)(a-b)=a²-b²
<=>(a²-b²)(a²+b²)<=a²-b²
(puisque a>b a²-b²>0)on deduit que a²+b²<=1
SToF065
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MessageSujet: Re: problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)   

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problème N°86 de la semaine (18/06/2007-24/06/2007)
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