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 problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)

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samir
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MessageSujet: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Lun 25 Juin 2007, 21:18


_________________
وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Lun 25 Juin 2007, 21:20

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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Yalcin
champion de la semaine


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Lun 25 Juin 2007, 21:46

solution postée
voici la solution de yalcin
n+1)U(n+1)-nU(n)=(n+1)[(n/(n+1))U(n)+1/(n+1)²]-nU(n)=nU(n)+1/(n+1)-nU(n)=1/(n+1)

D'où par téléscopage et comme U(1)=1 ,on obtient : U(n)=(1/n)H(n) , avec H(n)=Sum(1/k,k=1..n)

Or on a H(n)~ln(n) , et ln(n)/n --> 0 ,d'où U(n) --> 0
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radouane_BNE
Modérateur
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Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Lun 25 Juin 2007, 21:58

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته
Solution postée.

voici la solution de radouane
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selfrespect
Expert sup
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Lun 25 Juin 2007, 23:03

SALUT TT LE MONDE ;
SOLUTION POSTEE'
voici la solution de selfersept
1)
on remarque que : kUk-(k-1)U(k-1)=1/k
sommation ==> Uk=1+1/2+1/3+...1/n
2) limite de Un :
on applique le TAF sur la fct x-->ln(x) dans les intervales [k,k+1]
on trouve 1/(k+1)
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elhor_abdelali
Expert grade1
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Age : 54
Localisation : Maroc.
Date d'inscription : 24/01/2006

MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 01:03

Bonsoir ;
Solution postée farao

voici la solution d'elhor

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wiles
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 07:06

solution postée
voici la solution de wiles
(je me suis servi d'un telescopage pour trouver le resultat mais j'ai preféré proceder a la reccurence pour le demontrer car c'est plus facile)
prouvons que Un=1/n(1/n+..+1/2+1)
pour n=1c'est trvial
supposons que Un=1/n(1/n+..+1/2+1)
on a U(n+1)=Un*n/(n+1)+1/(n+1)^2
=1/n(1/n+..1)*n/(n+1)+1/(n+1)^2
=1/(n+1)*(1/n+..1+1/(n+1))
=1/(n+1)(1/(n+1)+..+1)
reccurence achevée
on a pas encore fait les limites des suites mais je vais quand mm essayer
Un=1/n^2+1/n(n-1)+..+1/n
on remarque que quand n tend vers 00 chaque terme tend vers 0 alors Un tends vers 0
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Bison_Fûté
Expert sup
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Age : 57
Date d'inscription : 11/02/2007

MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 10:09

Bonjour Mr SAMIR!!
Solution au Pb 87 postée.
Amitiés !!! LHASSANE

voici la solution de Bourbaki
Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 87.

Introduisons la suite auxilliaire {wk}k définie par la relation
wk=k.uk pour tout entier naturel k >=1 avec w1=1.U1=1
Alors , il vient que l’on a :
wk+1=wk+(1/k+1) pour tout entier k>=1 (*)
On écrit cette relation pour k=1,2,3………,n-1 et on fait la somme TELESCOPIQUE pour obtenir :
wn=w1+(1/2)+(1/3)+……..+(1/n)=(1/1)+(1/2)+(1/3)+……+(1/n)
Il en résultera que :
un=(1/n).wn = (1/n).{(1/1)+(1/2)+(1/3)+……+(1/n)}
pour tout n>=1 .
Cherchons maintenant la limite de cette dernière suite , à première vue un est le produit d’une suite convergente et d’une suite divergente ( Série Harmonique )…….
Mais , après reflexion , on s’aperçoit que {un}n est en fait la Moyenne de Césaro de la suite {1/n}n convergente elle vers 0 et donc le THEOREME de CESARO permet de conclure que la suite proposée {un}n est convergente aussi vers 0 .

Ce qui termine la solution.
A++. BOURBAKI
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abdelbaki.attioui
Administrateur
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 11:47

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
(n+1)U_(n+1)-nU_n=1/(n+1)
==> (n+1)U_(n+1)-1=1/(n+1)+1/n+...+1/2
==> U_n=(1+1/2+...+1/n)/n et lim U_n=0 ( Césaro)
A+

_________________
وقل ربي زد ني علما
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robalro
Débutant


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 12:44

Bonjour !

Solution postée ...
Bonjour Samir.

voici la solution de robalro

1°)

U(n) = [(n-1)/n].U(n-1) + 1/n²

U(n-1) = [(n-2)/(n-1)].U(n-2) + 1/(n-1)²

...

U(k) = [(k-1)/k].U(k-1) + 1/k²

...

U(2) = [(2-1)/2].U(1) + 1/2²

Soit :

U(n) = [(n-1)/n].U(n-1) + 1/n²

[(n-1)/n]U(n-1) = [(n-2)/n].U(n-2) + 1/[n.(n-1)]

...

D'où en sommant ces n-1 lignes, on a :

U(n) = (1/n).[ 1 + sum(k=2,n) 1/k ] = (1/n).sum(k=1,n) 1/k

Or sum(k=1,n) 1/k ~ (n tend +oo) log(n)

D'où :

lim (n->+oo) U(n) = 0

A+
(sauf erreurs ...)
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thomas
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 14:12

Salut Smile

Est-ce bien u(n+1) et u(n) qui apparaissent dans la relation ?

C'ets écrit tellement petit Laughing
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saad007
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 14:17

salut amateurs de maths
solution postee
voici la solution de g_niti_akon
on a



.
.
.





donc



.
.
.


en sommant on a :


enfin limUn=0

merci Very Happy Smile
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saad007
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 14:20

thomas a écrit:
Salut Smile

Est-ce bien u(n+1) et u(n) qui apparaissent dans la relation ?

C'ets écrit tellement petit Laughing

salut thomas voila


a+
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thomas
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 15:00

merci Smile
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math_pro
Habitué


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 15:03

SALAM

Solution postée

voici la solution de math_pro


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aissa
Modérateur


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 15:54

salut tout le monde
solution postée
Voici la solution d’aissa

salut samir
par une simple recurrence on montre que
Un = 1/n * sum(k=1^n, 1/k)
U n est equivalente à ln(n)/n qui tend vers o alors
lim Un=o.
(on oeut aussi faire une comparaison avec l'integral en utilisant la fonction x -> 1/x.)
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Infophile
champion de la semaine
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 17:01

Bonjour,

Solution postée.
voici la solution d'infophile


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khamaths
Maître


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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 19:42

Bonjour

solution postée

Voici la solution de khamaths

Bonjour Samir

Posons: V_n = nU_n pour tt n ¤ IN*

On a : V_{n+1}- V_n = 1 /(n+1) et V1 = 1 pour tt n ¤ IN*

=====> V_n = Sum _k=1^n (1/k)

=====> U_n = 1/n Sum_k=1^n(1/k) = Sum _k=1^n (1/ (kn))

=====> Lim U_n =0
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Raa23
champion de la semaine
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mar 26 Juin 2007, 20:22

Solution postée

voici la solution de Raa23

n*Un=(n-1)*Un-1 + 1/n

donc

Un=1/n*sum(1/K,k=1..n)

et

Un ~ ln(n)/n -> 0 (qd n-> infiny)

Raa23
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pivot_de_gauss
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Mer 27 Juin 2007, 01:04

solution postee
voici la solution de pivot_de_gauss
U1=1
U2=1/2 + 1/4
U3=1/3 + 1/6 1/9
................................
Un= 1/n + 1/2n + 1/3n +.........+ 1/n² = 1/n ( 1 +1/2 +1/3 +......+1/n )

lim Un = 0
n->+oo
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badr
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Ven 29 Juin 2007, 15:06

solution postee
voici la solution de badr


on a u_(n+1)=n/(n+1)u_n+1/(n+1)²

(n+1) u_(n+1)-u_n*n=1/(n+1)

2u_2-u_1=1/2

3u_3-2u_2=1/3
.........
....
....
nu_n-(n-1)u_(n-1)=1/n

en additionnant ces egalites memdre a membre on obtient

nu_n-u_1=1/2+1/3+......+1/n

nu_n-1=(n-1)(n+2)/4n

u_n=(n-1)(n+2)+4n/4n² (qq soit n£N*)


lim(u_n)=lim(u_n)n²/4n²=1/4
(n tend a +00)
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FOUAD80
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Date d'inscription : 29/01/2007

MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Dim 01 Juil 2007, 17:27

SALUT TOUT LE MONDE
SOLUTION POSTEE
voici la solution de FOUAD

I) On a U(n+1) = U(n).(n/n+1) + 1/(n+1)² n ε IN*
(n+1).U(n+1) - nU(n) = 1/(n+1)

Donc 2U(2) – U(1) = 1/2
3U(3) – 2U(2) = 1/3
4U(4) – 3U(3) = 1/4
. . .
. . .
. . .
nU(n) – (n-1).U(n-1) = 1/n

D’où n.U(n) – U(1) = 1/2+1/3+1/4+….+1/n

U(n) =1/n.( 1+1/2+1/3+1/4+….+1/n )

II) pour la limite :
On a lim (1+1/2+1/3+1/4+….+1/n) > 1
Donc lim U(n) = 0


Et merci
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Conan
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   Dim 01 Juil 2007, 23:42

solution postée
voici la solution de conan
on a : u_1 = 1

et

1)

posant : a = n/(n+1) et b= 1/(n+1)²

donc : U_(n+1) = a U_n +b , et posant T_n = U_(n+1) - U_n

donc : T_n = a T_(n-1) (suite géometrique)

=> T_n = a^(n-1) T_1 = a^(n-1) (u_2 - u1) = a^(n-1) (-1/4)


donc : T_n = -a^(n-1) /4

et on a : T_1+T_2+.....+T_(n-1) = T_1* (1-a^(n-1))/(1-a)

<=> (U_2-U_1)+(U_3-U_2)+....+(U_n-U_(n-1)) = T_1* (1-a^(n-1))/(1-a)

<=> U_n - U_1 = -1/4 (1-a^(n-1))/(1-a)

<=> U_n = -1/4 (1-a^(n-1))/(1-a) + 1

<=> U_n = [ ( (n^(n-1) - (n+1)^(n-1) )/4(n+1)^(n-2) ] + 1

2)

on a : IaI <1


donc : lim_n->00{u_n} = b/(1-a) = 1/(1+n)

(sauf erreur bien entendu)
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MessageSujet: Re: problème N°87 de la semaine (25/06/2007-02/07/2007)   

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