une jolie equation fonctionnelle

Trouver toutes les fonctions f:IR--->IR telles que pour tous x,y de IR on a

salut Samir
avec x=0 f(f(0)²+f(y))=y
la fonction est bijectif comme l'aplication a droite est une bijection.
notons l'existence d'un réél T tel que f(T)=0
f(f(0)²+f(T))=f(f(0)²)=T==> f(0)²=f(t) ,d'ou f(0)=0
d'aprés l'énoncé:f(f(x)²+f(0))=xf(x)==>f(f(x)²)=xf(x)
on pose x=f(x) f(x)²=x²
d'ou f(x)=x ou f(x)=-x

otman4u a écrit:

salut Samir
avec x=0 f(f(0)²+f(y))=y
la fonction est bijectif comme l'aplication a droite est une bijection.
notons l'existence d'un réél T tel que f(T)=0
f(f(0)²+f(T))=f(f(0)²)=T==> f(0)²=f(t) ,d'ou f(0)=0
d'aprés l'énoncé:f(f(x)²+f(0))=xf(x)==>f(f(x)²)=xf(x)
on pose x=f(x) f(x)²=x²
d'ou f(x)=x ou f(x)=-x

Ce n'est pas tout à fait complet.
f(x)^2=x^2 implique que, pour chaque x : f(x)=x ou -x, mais il se pourrait que f(x)=x pour certains x et f(x)=-x pour d'autres (exemple f(x)=((-1)^[x])*x.

Il reste donc encore à exclure ces cas pour aboutir à f(x)=x pour tout x et f(x)=-x pour tout x

--
Patrick

Bonjour Samir ;
Effectivement jolie équation fonctionnelle !

Conditions suffisantes :
les deux fonctions IdIR et -IdIR sont clairement solutions.

Conditions nécessaires :
Soit f une solution alors ,

f est une involution de IR et f(0)=0 :
en faisant x=y=0 on voit que f s'annule soit b£IR tel que f(b)=0
pour x=b on a pour tout réel y , f(f(y))=y
pour x=0 on a f(f(0)²+f(y))=y=f(f(y))
donc f(0)²+f(y)=f(y) d'où f(0)=0 .

f est impaire :
en faisant z=f(x) et y=0 on a pour tout réel z ,
f(z²)=zf(z)=f((-z)²)=-zf(-z) .

f est additive :
pour tout réels x et y on a ,
f(x²+y)=f( (fof(x))²+fof(y))= f(x).fof(x)+f(y)=xf(x)+f(y)=f(x²)+f(y)
f(-x²+y)=-f(x²-y)=-(f(x²)+f(-y))=f(-x²)+f(y) .

f(1)=1 ou f(1)=-1 :
pour z=f(1) on a f(f(1)²)=f(1) d'où f(1)²=1

Cas où f(1)=1 :
pour tout réel x , 4x=(x+1)²-(x-1)²
f(4x)=4f(x)=(x+1)(f(x)+1)-(x-1)(f(x)-1)=2f(x)+2x
et f(x)=x pour tout réel x .

Cas où f(1)=-1 :
un raisonnement analogue au cas précédent donne ,
f(x)=-x pour tout réel x .

Conclusion :
Les seules solutions de l'équation fonctionnelle :
pour tout x,y£IR , f(f(x)²+f(y))=xf(x)+y
sont IdIR et -IdIR (sauf erreur bien entendu)