suites pas mal !

salut ,

1- calculer la limite de (U(n)) :
U(n) = sigma(1/[k*(2^k)]) / 1=<k=<n .

2- S(n) = Sigma(A(k)/B(k)) / 0 =<k=<n
A(k) = (-1)^k .
B(k) = 1 + k .

soit L la limite de S(n) .
majorer en fonction de n : E(k) = |S(n) - L |.

.

[quote="toetoe"]salut ,

1- calculer la limite de (U(n)) :
U(n) = sigma(1/[k*(2^k)]) / 1=

Bon je me lance :

1)U_n= sum((1/(k*2^k)),k=1..n)

On remarque tout d'abord que pour tout k entier non nul, on a :
1/(k*2^k) = int(t^(k-1),t=0..1/2)

Ensuite, il ne reste plus qu'à calculer une série géométrique :
U_n= sum((1/(k*2^k)),k=1..n)
U_n= sum[int(t^(k-1),t=0..1/2),k=1..n]
U_n= int(sum(t^k,k=0..n-1),t=0..1/2)
U_n= int(1/(1-t),t=0..1/2) - int(t^n/(1-t),t=0..1/2)

Puis on majore sans problème le deuxième terme :
|int(t^n/(1-t),t=0..1/2)| =< 1/2^(n-1) qui tend vers 0

Conclusion : notre série converge et sa limite est :
int(1/(1-t),t=0..1/2) = ln2

en espérant ne pas avoir fait d'erreur...[/b]

pelikano a écrit:

Bon je me lance :

1)U_n= sum((1/(k*2^k)),k=1..n)

On remarque tout d'abord que pour tout k entier non nul, on a :
1/(k*2^k) = int(t^(k-1),t=0..1/2)

Ensuite, il ne reste plus qu'à calculer une série géométrique :
U_n= sum((1/(k*2^k)),k=1..n)
U_n= sum[int(t^(k-1),t=0..1/2),k=1..n]
U_n= int(sum(t^k,k=0..n-1),t=0..1/2)
U_n= int(1/(1-t),t=0..1/2) - int(t^n/(1-t),t=0..1/2)

Puis on majore sans problème le deuxième terme :
|int(t^n/(1-t),t=0..1/2)| =< 1/2^(n-1) qui tend vers 0

Conclusion : notre série converge et sa limite est :
int(1/(1-t),t=0..1/2) = ln2

en espérant ne pas avoir fait d'erreur...[/b]

wellah c'est ça ce que j'ai trouvé sauf que j'ai calculé
Un-(1+1/2+...1/n)=sigma(int_{1^2}{x^(-k-1)}dx}
eyt j'ai trouvé que c'est egal a 2ln(2) sachant que 1+1/2.+1/3...1/n=ln(2) j'ai deduit
ben pour la deuxieme c'etait aussi la mm idée ,en fait c'est - ln(2)

hem hem
1+1/2+...+1/n n'est-ce pas la série harmonique qui diverge...?

merci pour vos reponses cependant j'ai un petit probleme , qu'est ce que vous voulez dire avec ce " int " ?

merci d'avance .

Ha wi moi j'utilise la notation maple ...

int signifie intégrale
sum signifie somme

what the hell is going on ? qu'est ce qui se passe ? .

j'aurai jamais pu penser a une telle methode .en tout cas ,merci

pour cette solution super pour la premiere question.

ça sera simpa si vous m'aidiez a trouver la solution pour le deuxieme exercice .

c'est un grand classique...
Tu peux t'inspirer de la méthode précédente
C'est la même chose... essaye de transformer le terme général de la somme en une intégrale puis tu intervertis les symboles.

Je pense que Taylor avec reste intégrale, ca marche aussi ...

pelikano a écrit:

hem hem
1+1/2+...+1/n n'est-ce pas la série harmonique qui diverge...?

dsolé je me suis trompé !
ben pour la 2eme on fait la mm chose on trouveque L=-ln2 (^^)

merci pour la methode .

en fait,pour la deuxieme il suffit de changer les bornes(-1 -> 0) .

Allez, j'en met une dans le même style, un peu plus bourrine... Attention cette fois aux justifications :

Convergence et calcul de la série :

sum[ ( (-1)^n . (2n)! )/( 4^(3n+2) . (n!)^2 . (2n+1) . (2n+2) )]

lool ça me parait un peu plus difficile .je vé essayer de poster la

reponse d'ici le soir .

indications
considerez la fonction : f(x)=sum( x^(k-1) , de k=1 à k=n)
f(x)= (1-x^n)/(1-x)
calculez int(0^1/2, f(t)dt) de deux manières differentes
en deduire que lim Un=ln2
puis que : |Un -ln2| =< 1/(n+1)*(1/2)^n
bon courage