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 inégalité

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2 participants
AuteurMessage
samir
Administrateur
samir


Nombre de messages : 1872
Localisation : www.mathematiciens.tk
Date d'inscription : 23/08/2005

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MessageSujet: inégalité   inégalité EmptyVen 20 Juil 2007, 23:19

Soient x,y,z trois réelles strictement positifs tels que xy+yz+zx=3
Démontrer que
inégalité Inegal10
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https://mathsmaroc.jeun.fr
Conan
Expert sup
Conan


Masculin Nombre de messages : 1722
Age : 33
Localisation : Paris
Date d'inscription : 27/12/2006

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MessageSujet: Re: inégalité   inégalité EmptySam 21 Juil 2007, 00:04

on pose : a=xy et b=yz et c=xz

donc : x²=ac/b et y²=ab/c et z²=bc/a et notre inégalité devien :

S = a²/(bc+a) + b²/(ac+b) + c²/(ab+c) >= 3/2 tel que : a+b+c = 3

d'aprés Cauchy-Shwartz :

S * [ (a+bc)+(ac+b)+(ab+c)] >= (a+b+c)²

<=> S*(3+ab+bc+ca) >= 9 <=> S >= 9/(3+ab+bc+ca)

et on a : (a+b+c)²/3 >= ab+bc+ca <=> 3 >= ab+bc+ca

d'ou S >= 9/(3+3) <=> S >= 3/2
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http://www.fide.com/ratings/card.phtml?event=9000720
 
inégalité
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