comparer x et y

1) Par récurrence
2) x < y

x = 2006*(2005*2006/2)
y = 2005*(2006*2007/2)

pour 1) on peut la montrer sans utiliser la recurence
on pose
A= 1+2+3+.......+n
on a aussi
A =n+(n-1)+(n-2)+.......+1
donc
2A=(n+1)+(n+1)+........+(n+1) (n fois le nombre (n+1))
d'ou
2A =n(n+1)
c a d A=n(n+1)/2

Ah oui!

La bonne vieille méthode de Gauss

Salut
Je propose D'autres methodes qui sont comme suit:
1) on connait que (k+1)^2=k^2+2k+1
pour k=1 : (1+1)^2=1^2+2*1+1
pour k=2 : (2+1)^2=2^2+2*2+1
pour k=3 : (3+1)^2=3^2+2*3+1
pour k=4 : (4+1)^2=4^2+2*4+1
.
.
.
pour k=n : (n+1)^2=n^2+2*n+1

en fesant la somme de tous ces élements et en simplifiant, on obtient:
(n+1)^2=1+2A+n
et il reste de calculer A
2)On peut aussi resoudre ce probleme en cherchant un polynome du second degré P qui verifie : P(x+1)-P(x)=x,puis de prendre à chaque fois x de 1 jusqu'à n ......
3)Et voici la methode la plus ancienne:
+
++
+++
++++
+++++
il y a comien de + ?
c'est l'aire du triangle:
1+2+3+4+5=5*6/2
à partir de ce cas particulier ,on peut faire un triangle de base n et de hauteur n+1, dont l'aire serait n(n+1)/2.

c'est bien ismail
un exo à vraiment plusieurs methode pour le résoudre

je n'ai pas compris la méthode d'ismail..

Laquelle?

la plus ancienne!!! merci de me repondre

Ismail a écrit:

3)Et voici la methode la plus ancienne:
+
++
+++
++++
+++++
il y a comien de + ?
c'est l'aire du triangle:
1+2+3+4+5=5*6/2
à partir de ce cas particulier ,on peut faire un triangle de base n et de hauteur n+1, dont l'aire serait n(n+1)/2.

il a utilisé la relation
Surface d'un triangle= (base*hauteur)/2

ah d'accord!! c'est tres ingénieux de sa part..

samir a écrit:

1- prouver que 1+2+3+..........+n=n(n+1)/2
2- comparer x et y tels que :
x=2006(1+2+...........+2005)
y=2005(1+2+...........+2006)

Bon la 1ème ca sort avec la récurence, et comme tout le monde à oublier de répondre à la 2ème je m'y met
x=2006(1+2+3+...+2005)
x=(2005+1)(1+2+3+...+2005)
x=2005(1+2+3+...+2005)+(1+2+3+...+2005)
x=2005(1+2+3+...+2005)+(1+2+3+...+2004)+2005

y=2005(1+2+3+...+2006)
y=2005(1+2+3+...+2005+1)
y=2005(1+2+3+...+2005)+2005

x-y=2005(1+2+3...+2005)+(1+2+3+...+2004)+2005-2005(1+2+3+...2005)-2005
x-y=1+2+3+...+2004>0

X>Y

codexlematheu a écrit:

samir a écrit:

1- prouver que 1+2+3+..........+n=n(n+1)/2
2- comparer x et y tels que :
x=2006(1+2+...........+2005)
y=2005(1+2+...........+2006)

Bon la 1ème ca sort avec la récurence, et comme tout le monde à oublier de répondre à la 2ème je m'y met
x=2006(1+2+3+...+2005)
x=(2005+1)(1+2+3+...+2005)
x=2005(1+2+3+...+2005)+(1+2+3+...+2005)
x=2005(1+2+3+...+2005)+(1+2+3+...+2004)+2005

y=2005(1+2+3+...+2006)
y=2005(1+2+3+...+2005+1)
y=2005(1+2+3+...+2005)+2005

x-y=2005(1+2+3...+2005)+(1+2+3+...+2004)+2005-2005(1+2+3+...2005)-2005
x-y=1+2+3+...+2004>0

X>Y

Mais c po la meme solution si on use la récurence de tout à l'hure

x<y et non x>y
x = 2006*(2005*2006/2)
y = 2005*(2006*2007/2)
y-x=2005*2006/2 (2007 -2006)=2005*1003 >0

Salam
on considere le polynome P(x)=x^2/2+x/2
On a : P(x+1)-P(x)=x+1

P(1)-P(0)=1
P(2)-P(1)=2
P(3)-P(2)=3
. . .
. . .
. . .
P(n)-P(n-1)=n

En sommant on obtient 1+2+3+....+n=P(n)=n^/2+n/2=n(n+1)/2

x=2006*2005*2006/2 et y=2005*2006*2007

x-y=(2006)(2005)(2006-2007)/2<0

alors
X<Y

Mais dites moi ou est la faute dans mon raisonnement????