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 problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)

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samir
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MessageSujet: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Lun 13 Aoû 2007, 21:01


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وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Lun 13 Aoû 2007, 21:03

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Lun 13 Aoû 2007, 21:13

salut tout le monde.
Solution postée
Voici la solution de boukharfane radouane

On va factoriser A (n) sous forme de deux polynômes de deuxième degrés.
On a: n^4+2n^3-n^2+2n+1= (n²+An+B) (n²+Cn+D+)
= n^4+n^3*(A+C) +n^2*(B+D+AC) +n*(AD+BC) +BD
=>A+C=2; B+D+AC=-1; AD+BC=2; BD=1
=>B=D=1; A=3; C=-1.
D’où |A (n)|=| (n^2+3n+1) || (n^2-n+1)|
A (n) est premier =>n²+3n+1=1 ou n²+3n+1=-1 ou n²-n+1=1 ou n²-n+1=-1.
=>n=-3 ;-2 ;-1 ; 0 ; 1
Donc les valeurs convenables pour que A (n) soit premier n=-3 ;-2 ;-1 ; 1.
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selfrespect
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Lun 13 Aoû 2007, 21:20

Salut
solution postée
voici la solution de selfrespect

Salut Mr Samir ,
on remarque que :
|An|=|n²-n+1||n²+3n+1|
|An| premier ==>
1)|n²-n+1|=1 ou
2) |n²+3n+1|=1
on trouve enfin n£{0,-3,1,-1,-2}
*reciproquement A(-2)=A0=1 nest pas premier.
S={1,-3,-1}
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saad007
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Lun 13 Aoû 2007, 21:25

salut tt le monde
solution postée

vive les vaccances Laughing Laughing Laughing Laughing
voici la solution de saad007
l'astuce est de trouver une factorisation convenable
alors pour cela posons P(x)=ax²+bx+c et Q(x)=a'x²+b'x+c'
on développe le produit, et on identifie les coefficients.
(on trouve un systeme qui se resoud facilement:D a=a'=c=c=1ou-1
en fin de compte An=(n²-n+1) (n²+3n+1)
notons[]valeur absolue
alors [An]=(n²-n+1) [n²+3n+1]=p (p premier)
donc 1=(n²-n+1) ou 1=[n²+3n+1]
ce qui mene a la conclusion suivante n appartient a {-3,-2,-1,0,1}
merci a tous et a toutes
on voila


Dernière édition par le Mar 14 Aoû 2007, 18:46, édité 1 fois
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Infophile
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Mar 14 Aoû 2007, 18:45

Bonjour,

Solution postée.
Voici la solution Infophile
A(x) = x^4+2x^3-x²+2x+1 =(x²-x+1)(x²+3x+1)
Ainsi |A(x)| est premier ssi un des facteurs est égal à 1 (non tous les deux égal à 1) ou -1.
* x²-x+1 = 1 <=> x(x-1)=0 => x=0 ou x=1. Or x=0 => A(x)=1 qui n'est pas premier.

Pour x=1 on a |A(x)|=5 premier.
* x²+3x+1 = 1 <=> x(x+3)=0 => x=0 (à exclure) ou x=-3.

Pour x=-3 on a |A(x)|=13 premier.
* x²-x+1=-1 <=> x²-x+2=0 => Discriminant = -7 < 0 => pas de solutions
* x²+3x+1=-1 <=> x²+3x+2=0 Discriminant = 1 => x=-2 ou x=-1 (à exclure car |A(x)|=1)

Pour x=-2 on a |A(x)|=7 premier.
Donc S={-3,-2,1}
Sauf erreur.
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Jerem
Débutant


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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Mer 15 Aoû 2007, 11:28

Solution postée
Voici la solution de jerem
A(n)=n^4+2n^3-n^2+2n+1=(n^2-n+1)(n^2+3n+1)
pour n entier, (n^2-n+1) et (n^2+3n+1) sont des entiersqui divisent
A(n)
donc si A(n) est premier, alors (n^2-n+1)=+-1 ou (n^2+3n+1)=+-1
ce qui donne n= -3,-2,-1 ou 1
puis on vérifie que pour ces valeurs de n, A(n) est bien premier (en
valeur absolue)
Jerem
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neutrino
Expert sup


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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Mer 15 Aoû 2007, 12:02

solution postééé

Voici la Solution de neutrino

A(n) = n^4++2n^3-n²+2n+1

bien surrrr A(n) est postif car n^4>=n² et 2n^3>=2n

donc abs [ A(n) ] = A(n)

or A(n) = (n²-1)² +n²+2n(n²+1) = (n²+1)² + 2n(n²+1) + n² -4n² = [ n²+n+1]²-4n² = [ n²-n+1][n²+3n+1]

soit p un nombre premier

ona alors

A(n)=[ n²-n+1][n²+3n+1]=p
p est positif et n²-n+1 et n²+3n+1 sont positifs ossiiiii
donc *) n²-n+1=p et n²+3n+1=1
==> n²-n+1=p et n=-3 ou n=0 [ 0 n'est po une solution car A(0)=1 et 1 n'est pas premier]
==> ona donc 3 ²-3+1=p ==> p=7
cad n=3 et p=7
ou **) n²-n+1=1 et n²+3n+1=p
n=1 et n²+3n +1=p
==> n=1 et p=5
conclusion
les valeurs de n pour que A(n) soit premier sont -3 et 1
pour n=-3 A(n)=7 et pour n=1 A(n)=5 ( bien sur jé considéré p un nombre positiff) (sauf ereeur de ma part )
-----------
neutrino!!
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abdellatif
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Mer 15 Aoû 2007, 17:40

salut tt le monde
solution postée

voici la solution de Abdellatif
on a n(4)+2n(3)-n²+2n+1=(n²+3n+1)(n²-n+1)=A(n)
pour que /A(n)/ soit un nombre premier on doit avoir
n²+3n+1=1 ou n²+3n+1=-1 ou n²-n+1=1 ou
n²-n+1=-1
donc les valeurs de n qui verifient /A(n)/ est un nombre premier sont les solution des equations ci desus
donc l 'ensemble des valeurs de n pour que/A(n)/ est un nombre premier est:S=(-3,1-2,-1)
(pour que n=0 on a /A(n)/=1 et on sait que 1 n est pas un nombre premier)
ouassalamo 3alaykom
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Kendor
Féru


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MessageSujet: Solution au problème de la semaine n°94 par Kendor   Jeu 16 Aoû 2007, 10:08

Bonjour à tous!

Solution postée.
Voici la solution de Kendor
Solution au problème de la semaine n°94 par Kendor :

A (n)=n4+2n³-n²+2n+1
On remarque que la répartition des coefficients est symétrique.

En factorisant par n², on trouve :
A (n)=n² (n²+2n-1+2/n+1/n²)
Soit p=n+1/n
Alors p²=n²+1/n²+2
Ainsi A (n)=n² (p²-3+2p)
=n² (p-1) (p+3)

p-1= (n²-n+1)/n
p+3= (n²+3n+1)/n
Donc A (n)= (n²-n+1) (n²+3n+1)

|A (n)| est premier si et seulement si |n²-n+1|=1 ou |n²+3n+1|=1

Traitons chaque cas :

• n²-n+1=1 : n=0 (A (0)=1) ou n=1 (A (1)=5)

• n²-n+1=-1 : Pas de solution car Δ=-7.

• n²+3n+1=1 : n=0 (A (0)=1) ou n=-3 (A (-3)=13)

• n²+3n+1=-1 : Δ=1 :2 solutions entières : n1=-2 (A (-2)=-7) et n2=-1 (A (-1)=-3)

L’ensemble des entiers relatifs n tels que |A (n)| soit premier est donc S= {-3,-2,-1, 0,1}
On enlève 0 si on considère que 1 n’est pas premier.

CQFD.

Ciao !

Kendor
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omis
Expert grade2
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Date d'inscription : 25/03/2007

MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Jeu 16 Aoû 2007, 11:34

Bonjour

Solution postée.

Voici la solution de omis

Supposant un nombre p qui est premier et égal |A(n)| ,avec p<>+-1et 0

On a n^4 + 2n^3 –n² +2n +1 = p
=> n^3(n+2) – n(n+2) +4n +1=p
=> (n+2)(n^3-n) +4n+1=p
=> n[(n+2)(n²-1)+4] = p-1

=> n=1 et (n+2)(n²-1) + 4 =p-1 ou n=p-1 et (n+2)(n²-1) + 4 = 1

On va étudier les deux cas :
Pour le 1er cas on a n=1 et (n+2)(n²-1) + 4 =p-1
 (n+2)(n²-1) = p-5
 n+2 =1 et (n-1)(n+1) =p-5 ou l’inverse
 n=-1 et {n=2 et n= p-6 ou n=p-4 et n=0 ou n=p-7 et (n-1)(n+1)= 1
 n=-1 et {n=2 et n= p-6 ou n=p-4 et n=0 ou n=p-7 et n=2ou n=0 et n=0 ou n=-2
Alors en déduit la 1er solution 1er cas : S_1= {1 ;-1 ;2 ;-2 ;p-7 ;p-4 ;p-6 ; p-1}
Pour le cas de n=0 => p=1 (impossible)
Pour le 2er cas on a : n=p-4 et (n+2)(n²-1) +4 =1
 (n+2)(n²-1) = -3
 n +2 =1 et (n-1)(n+1) =-3 ou l’inverse
 n= -1 et {n=2 et n= -4 ou n= -2 et n =0 ou n=-5 et (n-1)(n+1)=1
 n= -1 et {n=2 et n= -4 ou n= -2 et n =0 ou n=-5 et n=2 et n=0 ou n=0 et n=-2
Alors en déduit la 2er solution du 2er cas : S_2= {p-4 ;+-1 ;+-2 ;-4 ;-5}
On va vérifier les solutions pour déduire la solution final :
Pour n=-1 => p=-3
Pour n= 1 => p=5
Pour n= 2 => p=33
Pour n=-2 =>p=-7
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mni
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Ven 17 Aoû 2007, 16:01

c koi A(n)?
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Conan
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Date d'inscription : 27/12/2006

MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Ven 17 Aoû 2007, 21:38

solution postée

Voici la solution de conan
pour n=0 pas de solution , donc on suppose que n#0

on a : A(n) = n² + 2n^3 - n² +2n +1=(n²)² + 2n²*n + n² +2n²+2n+1-4n²

<=> A(n) = (n²+n)²+2(n²+n)+1 - 4n² = (n²+n+1)²-(2n)²

<=> A(n) = (n²-n+1)(n²+3n+1)

donc pour que lA(n)l soit un nombre premier , il suffit d'avoir :

[ l n²-n+1 l = 1 et l n²+3n+1l = lA(n)l ] (*) <=> n=1

ou[ l n²-n+1 l = lA(n)l et l n²+3n+1l = 1 ] (**)<=>n=-1 ou n=-2 ou n=-3

donc les valeurs de n sont (-3;-2;-1;1)
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adam
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Sam 18 Aoû 2007, 03:57

Solution postée
facile qd mm !! ^_^
Voici la solution d’adam

salut,
en factorisant A(n) on obtient :
A(n) = (n² - n + 1 )(n² + 3n + 1)
et puisque : n² - n + 1 > 0 et les racines de B(n) = n² + 3n + 1 ne sont pas des entiers
donc les valeurs de n pour lesquelles / A(n) / est un nombre premier sont ceux qui vérifient :
n(n - 1) = 0 ou n(n + 3) = 0
c.à.d : n appartient à { -3 , 0 , 1 } et dans ce cas / A(n) / = A(n) appartient à { 13 , 1 , 5 }
c'est pas difficile du tout !!
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stipuler
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Dim 19 Aoû 2007, 13:54

bonjour !Very Happy
solution postéé
lol!
voici la solution de Stipuler
soit n un nombre entier relatif.
On a : A(n) = n*4 +2n³-n²+2n+1
=n*4+n³-n²+2n+ n³+1
= n³+1+ n³+-n²+n+n+n*4
=(n+1)(n²- n+1) + n(n²-n+1)+n(n³+1)
=(n+1)(n²-n+1)+n(n²- n +1)+n(n+1)(n²- n +1)
=(n²-n+1)(2n+1+n(n+1))
=(n²- n + 1)(n² +3n+1)

Un nombre premier ne peut s’écrire comme produit de nombres differents de 1 et lui-même !
P= premier

/ A(n)/= p  / n²- n+1/ ./n²+3n+1/= p
/n²-n+1/ = p et / n²+3n+1/=1
ou /n²- n+1/=1 et /n²+3n+1/=p

cas 1 : /n²- n+1/=p et /n²+3n+1/= 1

Soit /n²- n+1/ premier, on a

/n²+3n+1/=1 n²+3n+1=1 ou n²+3n+1 = - 1

 n =0 ou n= - 3 ou n= - 1 ou n= - 2
Les valeurs vérifiant /n²- n+1/ est premier sont { - 3, - 1, -2}

Cas2 : /n²- n+1/=1 et /n²+3n+1/=p

Soit /n²+3n+1/ premier, on a :

/n²- n+1/ = 1  n²- n+1 = 1 ou n²- n+1 = - 1
 n=0 ou n= 1
Les valeurs vérifiant ce cas { 1}
Finalement /A(n)/ est premier  n{ 1 , - 1 , - 2, - 3 }
Merci de lire mon essai
Stipuler
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huntersoul
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Localisation : In my mind
Date d'inscription : 19/02/2007

MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Dim 19 Aoû 2007, 17:25

salut
Solution postée
Voici la solution de huntersol
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Infophile
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Date d'inscription : 02/06/2007

MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   Lun 20 Aoû 2007, 18:49

Bonjour,

Je suis le roi pour oublier des cas jocolor
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MessageSujet: Re: problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)   

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problème N°94 de la semaine (13/08/2007-19/08/2007)
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