Probleme Mathematique.

Problème de raccordement dans le trace des lignes TGV

Le probleme du raccordement est de joindre par une courbe plane un troncon origine et un troncon extrémité. En voici un exemple :

Le tracon origine est une demo-droite [Aw) et le troncon extremite est ici l'arc de cercle BC de centre O.
Le raccordement doit etre tangent à chacun des deux troncons préxistants.

Figure : http://img57.imageshack.us/my.php?image=schemadm5qb.png

Question :
1. On choisit comme tracé une courbe représentant une fonction polynome du 3° degré f, dans un repere orthonormal ( A ; \vec{i ; \vec{j} ) ( échelle 1 cm pour 1 km ).

a) Quelles sont les coordonnées de O, B et C dans ce repére ?
b)Expliquer pourquoi f(0) = 0 et f'(0) = 0.
c) T est la tangente en B a l'arc de cercle BC.
Quel est le coefficient directeur de T ?

En deduire que f(4) = 3 et f'(4) = {1} \ {2}

d) Le polynome recherche s'ecrit
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Ecrire le systeme de quatre equation a quatre inconnues qui traduit les egalites trouvees au b. et au c. : puis determiner f.

2a) Soit g la fonction definie par

g(x) = - {x^3} \ {16} + {7x^2} \ {16} sur [ 0 ; 4 ].

Démontrer que la courbe representative de g verifie les contraintes du probleme.

b) Etudier le sens de variation de g sur [ 0 ; 4 ];
Faire le plan du tracé de la ligne TGV sur le parcour ABC.



Bonjour voici l'ennonce qui m'a etait donner en exercice pendant les vacances. J'ai essayer deja hier de le travailler mais je ne comprend pas l'exercice. Merci de m'aider.

PS : Le proffeseur nous avez dit de calculer OB si on etait bloquer mais ceci ne ma pas debloquer. Sinon OB = racine de 5

il fallait faire ça pendant les vacances !
1)
a) B(4,3) O(3,5) C(racine(5) +3 , 5)
b)comme f pass par A alors f(0)=0
comme la courbe de f est tangente a Ax alors f'(0)=0
c) le coefficient directeur de la tangente en B :
l equation de la droite OB est de la forme y=ax+b on remplace par les coordonnées de O et B on trouve que a=-2 et b=11 d ou l equation de la tangente en B est de la forme y=cx+d avec ac=-1 ce qui donne c=1/2 et d=1
conclusion l equation de la tangente est y=1/2x+1
d ou la coefficient directeur est 1/2
conclusion:
comme f passe par B(4,3) alors f(3)=4
comme f est tangente au cercle en B et que le cofficient directeur c 1/2 alors f'(4)=1/2
d) on a f(0)=a0^3 + b0^2 + c*0 + d=d
d autre part f(0)=0 alors d=0
f'(x)=3ax²+2bx+c
f'(0)=3a0²+2b0+c =c
d autre part f'(0)=0 d ou c=0
on a f(4)=a4^3 + b4^2=3
f'(4)=3a4²+2b4 =1/2
on resoud ce systeme on trouve que b=7/16 et a=-1/16
d ou f(x)=-1/16x^3+7/16 x²
2-a)
on pose g(x)=-1/16x^3+7/16 x²
on a g(0)=0 d ou g passe par A
g'(0)=0 d ou sa courbe est tangente a Ax
g(4)=3 d ou sa courbe passe par B
g'(4)=1/2 d ou sa courbe est tangente au cercle en B
b) g'(x)=-3/16x²+7/8x=1/16x(-3x+14)
d ou g croissante sur [0,14/3]
g décroissante sur [14/3,4]
voila