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 Polynômes : intéressant+utile...

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bel_jad5
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MessageSujet: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyVen 17 Aoû 2007, 17:42

Trouver tous les polynômes P qui vérifient la relation suivante :

pour tous a,b et c tels que :
a+b+c=0 on a :
(P(a))^3+(P(b))^3+(P(c))^3 = 3P(a)P(b)P(c)
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selfrespect
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyVen 17 Aoû 2007, 18:10

sachant que x^3+y^3+z^3-xyz=(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]
on deduit alors que :
1)P(a)+P(b)+P(c)=0
ou 2) P(a)=P(b)=P(c)
---
♣ a=b=c=0 ==> P(0)=0
♣tout dabord soit x de R x-x+0=0
alors P(x)+P(-x)=0 ==> P est impaire
1) ==> P(a)+P(b)=-P(-a-b)=P(a+b)
alors P est de forme Ax (P continue)
reciproquement x-->Ax verifie lenoncé.
dou P(x)=Ax
2) soit x de Rx-x+0=0
alors P(x)=P(-x)=P(0)=0
conclusion les seules fcts verifiants P sont x-->Ax (se)
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyVen 17 Aoû 2007, 18:19

selfrespect a écrit:
sachant que x^3+y^3+z^3-xyz=(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]
on deduit alors que :
1)P(a)+P(b)+P(c)=0
ou 2) P(a)=P(b)=P(c)
---
♣ a=b=c=0 ==> P(0)=0
♣tout dabord soit x de R x-x+0=0
alors P(x)+P(-x)=0 ==> P est impaire
1) ==> P(a)+P(b)=-P(-a-b)=P(a+b)
alors P est de forme Ax (P continue)
reciproquement x-->Ax verifie lenoncé.
dou P(x)=Ax
2) soit x de Rx-x+0=0
alors P(x)=P(-x)=P(0)=0
conclusion les seules fcts verifiants P sont x-->Ax (se)

rien n'empêche d avoir 1) et 2) en même temps. il peut que pour certain (a,b,c) on a p(a)+p(b)+p(c) = 0 et pour (x,y,z) on a p(x)=p(y)=p(z)
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selfrespect
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyVen 17 Aoû 2007, 18:24

bel_jad5 a écrit:
selfrespect a écrit:
sachant que x^3+y^3+z^3-xyz=(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]
on deduit alors que :
1)P(a)+P(b)+P(c)=0
ou 2) P(a)=P(b)=P(c)
---
♣ a=b=c=0 ==> P(0)=0
♣tout dabord soit x de R x-x+0=0
alors P(x)+P(-x)=0 ==> P est impaire
1) ==> P(a)+P(b)=-P(-a-b)=P(a+b)
alors P est de forme Ax (P continue)
reciproquement x-->Ax verifie lenoncé.
dou P(x)=Ax
2) soit x de Rx-x+0=0
alors P(x)=P(-x)=P(0)=0
conclusion les seules fcts verifiants P sont x-->Ax (se)

rien n'empêche d avoir 1) et 2) en même temps. il peut que pour certain (a,b,c) on a p(a)+p(b)+p(c) = 0 et pour (x,y,z) on a p(x)=p(y)=p(z)
ah oui tu as raison Embarassed dslé
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mahmoud16
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyVen 17 Aoû 2007, 18:24

la mm demarche de selfrespect
p(a)+p(b)+p(c)=0 on a x-2x+x=0 donc 2p(x)+p(-2x)=0 et -2x+2x+0 =0 donc p(2x)+p(-2x)=0 d'ou p(2x)=2p(x) et soit p(x) =a_nx^n+....a_0 xomparaisons les coeficients de p(2x)et 2p(x) derivons on trouve p(2x)'=p(x)' qui est le polynome constant .
x^3+y^3+z^3-xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyVen 17 Aoû 2007, 18:26

vous avez pas le droit de dire que :
a+b+c=0 ->p(a)+p(b)+p(c) = 0 parce que ce n est pas vrai !
Pour le voir il suffit de prendre p(x) = 1 qui est bien solution du problème !
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mahmoud16
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyVen 17 Aoû 2007, 18:57

soit soit a=x-y b=y-z c=z-x pour tt x;y;z.
alors on a soit p(x-y)+p(y-z)+p(z-x)=0ou p(x-y)=p(y-z)=p(z-x) qui est valide pour tout reels x y et z.
sans le premier cas pour y=0 z=0 on truve
P(x)+P(-x)=0et pour z=0 on trouve P(x-y)+P(y)=-P(-x)=p(x)et et d'ou p(x)=p(x+y-y)=p(x+y)-p(y)puis ..........pour tout xety et z et le 2 cas donne les constaantes il suffit de prendre z=0
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyVen 17 Aoû 2007, 19:03

mahmoud16 a écrit:
soit soit a=x-y b=y-z c=z-x pour tt x;y;z.
alors on a soit p(x-y)+p(y-z)+p(z-x)=0ou p(x-y)=p(y-z)=p(z-x) qui est valide pour tout reels x y et z.
sans le premier cas pour y=0 z=0 on truve
P(x)+P(-x)=0
et pour z=0 on trouve P(x-y)+P(y)=-P(-x)=p(x)et et d'ou p(x)=p(x+y-y)=p(x+y)-p(y)puis ..........pour tout xety et z et le 2 cas donne les constaantes il suffit de prendre z=0

tu peux pas séparer le cas 1 et le cas 2 !

voila un exemple plus concret :

quelque soit x appartient à R :
1) x>=0
ou 2) x<=0

On traite le premier cas :
quelque soit x de R : x>=0

affraid
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selfrespect
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyVen 17 Aoû 2007, 19:21

selfrespect a écrit:
sachant que x^3+y^3+z^3-xyz=(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]
on deduit alors que :
1)P(a)+P(b)+P(c)=0
ou 2) P(a)=P(b)=P(c)
---
♣ a=b=c=0 ==> P(0)=0
♣tout dabord soit x de R x-x+0=0
alors P(x)+P(-x)=0 ==> P est impaire
1) ==> P(a)+P(b)=-P(-a-b)=P(a+b)
alors P est de forme Ax (P continue)
reciproquement x-->Ax verifie lenoncé.
dou P(x)=Ax
2) soit x de Rx-x+0=0
alors P(x)=P(-x)=P(0)[size=24]=0[/size]
conclusion les seules fcts verifiants P sont x-->Ax (se)
JE CROIS QUE JAI PERDU LES AUTRES FCTS (CONSTANTES ) dans ce passage ( jai utiluse (1) inconsciement )...
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyDim 19 Aoû 2007, 10:07

je vous propose une démarche classique pour résoudre ce type d'exercices : les racines

on traite 2 cas :
- si P est constant -> P est une solution
- si P n'est pas constant, alors P admet une racine dans C ( théorème de d'Alembert ), on note a cette racine.
en prenant (a,a,-2a)
on a : a+a-2a = 0
d ou (P(a))^3+(P(a))^3+(P(-2a))^3 = 3P(a)P(a)P(-2a)
P(-2a) = 0
donc si a racine ->-2a racine ->4a racine ->4^na racine
Comme un polynome ne peut pas admettre une infinité de racines alors il existe i et j avec i#j tel que 4^ia=4^ja
d ou a=0
donc la seule racine de P est 0
d ou P(x) = (x-0)^r=Ax^r
En remplaçant dans l'équation, on trouve que r =1 d'ou P(x) = Ax

NB : c'est le type d'exercice qu'on pose dans les oraux des grandes écoles !
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Oeil_de_Lynx
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Oeil_de_Lynx

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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyDim 19 Aoû 2007, 10:34

Bravo bel_jad5 !!!! alien cheers
Tu as toujours la solution élégante . cheers
Oeil_de Lynx
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neutrino
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyLun 20 Aoû 2007, 10:54

bel_jad5 a écrit:
je vous propose une démarche classique pour résoudre ce type d'exercices : les racines

on traite 2 cas :
- si P est constant -> P est une solution
- si P n'est pas constant, alors P admet une racine dans C ( théorème de d'Alembert ), on note a cette racine.
en prenant (a,a,-2a)
on a : a+a-2a = 0
d ou (P(a))^3+(P(a))^3+(P(-2a))^3 = 3P(a)P(a)P(-2a)
P(-2a) = 0
donc si a racine ->-2a racine ->4a racine ->4^na racine
Comme un polynome ne peut pas admettre une infinité de racines alors il existe i et j avec i#j tel que 4^ia=4^ja
d ou a=0
donc la seule racine de P est 0
d ou P(x) = (x-0)^r=Ax^r
En remplaçant dans l'équation, on trouve que r =1 d'ou P(x) = Ax

NB : c'est le type d'exercice qu'on pose dans les oraux des grandes écoles !

wooooooow cheers cheers scratch Rolling Eyes
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyLun 20 Aoû 2007, 23:55

neutrino a écrit:
bel_jad5 a écrit:
je vous propose une démarche classique pour résoudre ce type d'exercices : les racines

on traite 2 cas :
- si P est constant -> P est une solution
- si P n'est pas constant, alors P admet une racine dans C ( théorème de d'Alembert ), on note a cette racine.
en prenant (a,a,-2a)
on a : a+a-2a = 0
d ou (P(a))^3+(P(a))^3+(P(-2a))^3 = 3P(a)P(a)P(-2a)
P(-2a) = 0
donc si a racine ->-2a racine ->4a racine ->4^na racine
Comme un polynome ne peut pas admettre une infinité de racines alors il existe i et j avec i#j tel que 4^ia=4^ja
d ou a=0
donc la seule racine de P est 0
d ou P(x) = (x-0)^r=Ax^r
En remplaçant dans l'équation, on trouve que r =1 d'ou P(x) = Ax

NB : c'est le type d'exercice qu'on pose dans les oraux des grandes écoles !

wooooooow cheers cheers scratch Rolling Eyes

En fait, cet exercice,c'est moi qui l'a crée, je voulais le proposer aux OMMI...Mais comme j'ai vu qu'il nétait pas difficile, je l'ai posté ici, pour préparer les membres à l exo P(x²)=p(x)p(x-1)...
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omis
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyMar 21 Aoû 2007, 12:19

bel_jad5 a écrit:
neutrino a écrit:
bel_jad5 a écrit:
je vous propose une démarche classique pour résoudre ce type d'exercices : les racines

on traite 2 cas :
- si P est constant -> P est une solution
- si P n'est pas constant, alors P admet une racine dans C ( théorème de d'Alembert ), on note a cette racine.
en prenant (a,a,-2a)
on a : a+a-2a = 0
d ou (P(a))^3+(P(a))^3+(P(-2a))^3 = 3P(a)P(a)P(-2a)
P(-2a) = 0
donc si a racine ->-2a racine ->4a racine ->4^na racine
Comme un polynome ne peut pas admettre une infinité de racines alors il existe i et j avec i#j tel que 4^ia=4^ja
d ou a=0
donc la seule racine de P est 0
d ou P(x) = (x-0)^r=Ax^r
En remplaçant dans l'équation, on trouve que r =1 d'ou P(x) = Ax

NB : c'est le type d'exercice qu'on pose dans les oraux des grandes écoles !

wooooooow cheers cheers scratch Rolling Eyes

En fait, cet exercice,c'est moi qui l'a crée, je voulais le proposer aux OMMI...Mais comme j'ai vu qu'il nétait pas difficile, je l'ai posté ici, pour préparer les membres à l exo P(x²)=p(x)p(x-1)...
merci cheers
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyJeu 23 Aoû 2007, 19:04

pouvez vous bel_jad5 poster des exo pour applique cette metode
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wiles
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wiles

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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... EmptyJeu 23 Aoû 2007, 19:11

abdou20/20 a écrit:
pouvez vous bel_jad5 poster des exo pour applique cette metode
en effet ca sera tres interessant.
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MessageSujet: Re: Polynômes : intéressant+utile...   Polynômes : intéressant+utile... Empty

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