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 pas facile

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2 participants
AuteurMessage
radouane_BNE
Modérateur
radouane_BNE


Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
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MessageSujet: pas facile   pas facile EmptyJeu 23 Aoû 2007, 12:22

bonjour.
a ,b et c sont trois réels tels que a²+b²+c²=9.
montrer que 2(a+b+c)-abc =<10
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mahmoud16
Maître



Masculin Nombre de messages : 111
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MessageSujet: Re: pas facile   pas facile EmptyJeu 23 Aoû 2007, 14:37

soit f(a,b,c)=2(a+b+c)-abc et t=rac ((b^2+c^2)/2) et a=min (a,b,c)
on a : f(a,b,c)-f(a,t,t)=2(b+c-2t)-a(bc-t^2) puisque b+c-2t<=0et bc-t^2<=0 si a<=0 on obtient f(a,b,c)-f(a,t,t)<=0 et on prouve que f(a,t,t)<=10
soit f(a,t,t)=2a+2rac(2(9-a^2))-1/2a(9-a^2) tel que -3<=a<=0la derivé egale 0 equivaut à a=-1et f(a,t,t) croissante dans [-3,-1] et decroissante dans l'autre interval et atteint un maximun =10d'où f(a,b,c)<= f(a,t,t)<=10
si a>=0 alors bet c sont positifs on distingue deux cas :
si a>=3/4 alors f(a,b,c)=2(a+b+c)-abc <=2rac(3(a^2+b^2+c^2))-(3/4)^3=2rac(27)-27/64<10.
si a<=3/4 alors f(a,b,c)=2(a+b+c)-abc <=2(rac(2(b^2+c^2))+3/4)<=2(rac(18)+3/4)<10 .
on analisons on trouve que l'egalité a eu lieu si a=b=2 et c=-1
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radouane_BNE
Modérateur
radouane_BNE


Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
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MessageSujet: Re: pas facile   pas facile EmptyJeu 23 Aoû 2007, 15:57

salut mahmoud16,j'ai bcp éstimé ta méthode.bravo!
je vous propose une autre méthode.
vue la symétrie on peur supposer que |a|=<|b|=<|c|.
on a:
(2(a+b+c)-abc)²=(2(a+b)+c(2-ab))²
et d'aprés chauchz-schwartz on obtient:
((a+b)²+c²)(4+(2-ab)²)>=(2(a+b)+c(2-ab))
d'où: (2(a+b+c)-abc)²=<((a+b)²+c²)(4+(2-ab)²)
=(9+2ab)(8-4ab+(ab)²)
=2(ab)^3+(ab)²-20ab+72(l'étape la plus difficile ) =(ab+2)²(2ab-7)+100
d'autre part:a²+b²+c²=<3c²=>c²>=3
d'après IAG: a²+b²>=2ab =>9-c²>=2ab =>2ab=<6
d'où (2(a+b+c)-abc)²=<100
c'est à dire 2(a+b+c)-abc=<10.
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mahmoud16
Maître



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MessageSujet: Re: pas facile   pas facile EmptyJeu 23 Aoû 2007, 16:26

solution plus elegante que la miene mais je pense que la dificulté se trouve dans la creation de ce probleme .
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