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 joli polynome

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AuteurMessage
radouane_BNE
Modérateur
radouane_BNE

Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
Date d'inscription : 11/01/2006

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MessageSujet: joli polynome   joli polynome EmptyJeu 23 Aoû 2007, 17:13

bonjour!
trouvet toutes les polynomes
p(x)=a(n)*x^n+a(n-1)*x^(n-1)+...+a(1)*x+a(0) avec a(n)#0 qui vérifient les deux conditions suivantes:
*(a(0),a(1),...,(a(n)) est une permutation de (0,1,...,n);
*tous les racines de p sont des rationels.
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ThSQ
Maître


Masculin Nombre de messages : 181
Age : 29
Date d'inscription : 04/10/2007

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MessageSujet: Re: joli polynome   joli polynome EmptyMar 30 Oct 2007, 22:35

Très très joli I love you !! Et coriace ....

J'aimerais bien savoir d'où viens ce problème Boukharfane Radouane ?

Je n'ai trouvé que 5 tels polynômes :
x
2x²+x
x²+2x
2x³+3x²+x
3x³+2x²+x


Quelques faits clairs :

Déjà toutes les racines sont négatives ou nulles = -r_i.
P(x) = \sum a_i * x^i = a_n x ¶ (x + r_i)

(1) P(1) = 0+1+..+n dans un certain ordre = n(n+1)/2
(2) a_0/a_n = ¶ r_i
(3) a_(n-1)/a_n = \sum r_i


Quelques faits moins clairs :

1) a_0 = 0

D'après AM-GM et (2) et (3) : (a_0/a_n)^(1/(n+1)) <= 1/(n+1) (a_(n-1)/a_n)
Soit a_0 <= a_n 1/(n+1)^(n+1) (a_(n-1)/a_n)^(n+1) <= (n/n+1)^(n+1) < 1
et donc a_0 = 0.


On est donc ramené à \sum_0^{n-1} a_k * x^k avec les a_k = 1,...n

2) P'(x)/P(x) = \sum 1/(x+r_i) classiquement

P'(1) = n*a_n + (n-1)*a_(n-1) + ... + a1
D'après l'inégalité de réarrangement P'(1) >= n + 2*(n-1) + ... + n * 1 = n * n(n+1)/2 - (n*(n-1)/2 -1)

Mais P'(1)/P(1) < n ce qui donne n < 4.



Maintenant ça fait très peu de cas à tester et sauf, erreurs, il n'y a que les 5 polynomes ci-dessus
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