prouver

qqsoit x £ IR*+ arctg(x)+arctag(1/x)=pi/2
qqsoit x £ IR*- arctg(x)+arctag(1/x)=-pi/2

BJR omis !!!
Ce n'est pas compliqué , tu étudies la fonction
x------>f(x) =Arctanx+Arctan(1/x) de iR* dans IR
Tu vérifies que sa dérivée est partout NULLE , donc la fonction est constante et vaut C1 sur ]0,+oo[ puis elle vaut C2 sur ]-oo,0[ .
Les constantes C1 et C2 ne sont pas forcémént les mêmes
Pour déterminer C1 , tu fais tendre x vers +oo alors C1=Pi/2 et enfin tu auras C2 en faisant tendre x vers -oo alors C2=-Pi/2 .
On résume ton résultat en écrivant :
Arctanx+Arctan(1/x)=(Pi/2) . (x/|x|) pour tout x dans IR*
A+

1*juste poser que a=arctanx et b=arctanb et utiliser tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)).
ou tout simplement considérer la fonction f(x)=arctan(x)+arctab(1/x) et fait la dérivation=>f'(x)=0 =>f est constante puis conclure .
2*pour la deuxieme la fonction x->arctan(x) est impaire.conclure.

boukharfane radouane a écrit:

1*juste poser que a=arctanx et b=arctanb et utiliser tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)).
ou tout simplement considérer la fonction f(x)=arctan(x)+arctab(1/x) et fait la dérivation=>f'(x)=0 =>f est constante puis conclure .
2*pour la deuxieme la fonction x->arctan(x) est impaire.conclure.

c la meme méthode que j'ai fait

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR omis !!!
Ce n'est pas compliqué , tu étudies la fonction
x------>f(x) =Arctanx+Arctan(1/x) de iR* dans IR
Tu vérifies que sa dérivée es partout NULLE , donc la fonction est constante et vaut C1 sur ]0,+oo[ puis elle vaut C2 sur ]-oo,0[ .
Les constantes C1 et C2 ne sont pas forcémént les mêmes
Pour déterminer C1 , tu fais tendre x vers +oo alors C1=Pi/2 et enfin tu auras C2 en faisant tendre x vers -oo alors C2=-Pi/2 .
On résume ton résultat en écrivant :
Arctanx+Arctan(1/x)=(Pi/2) . (x/|x|) pour tout x dans IR*
A+

bravo Oeil_de_Lynx pr ta méthode

oui c'est la méme mais l'instant ou j'ai envoyé le message notre prof a envoyé son message au mm instant.

Il n'y a rien de grave Redouane !!
Toi ou Moi le 1er , cele n'a pas d'importance , l'essentiel c'est qu'Omis a eu une réponse rapide !!!
C'est cela qu'on appelle la REACTIVITE dans un Forum !!!!
Pourquoi C1 et C2 ne sont pas les mêmes parceque :
f application de D dans IR , D partie non vide de IR alors:
f'=0 =====> f est constante sur chaque composante CONNEXE de D ( les composantes connexes de D sont les +grands intervalles de IR inclus dans D )
Par exemple si D=]-oo,1[union]1,6[union]6,+oo[ ;
alors ses composantes connexes sont ]-oo,1[ ; ]1,6[ et]6,+oo[.
Autre argument : le TAF s'applique sur un intervalle , ici on ne pourra pas appliquer le TAF à f sur par exemple
[-5,5] car on sera obligé de traverser 0 qui n'est pas dans le domaine de définition de f !!!!
A+

merci