BORNE SUPERIEURE

soit A et B deux parties non vides de R*+.on suppose que A est majoree et que B possede un minorant strictement positif.


Montrez que l'ensemble C des reels de la forme a/b,avec a de A et b de B
possede une borne superieure a determiner

bonne chance

allez essayez avec cet exo c simple mais le cours est essentiel dommage il est retire du programme n'est ce pas?

bonjour
je crois que j'ai trouvé la réponse de votre question:
A est majorée => il existe M >0 tel que qlq soit a £A on a: a<= M
B est minorée => il existe m>0 tel que qlq soit b £B on a: b>= m
=> qlq soit b £ B on a : 1/b <= 1/m
soit x£C alors x= a/b tel que a £A et b £Bor a<= M et 1/b <= 1/m donc a * (1/b)<=M * (1/m)
==> a/b <= M/m (ie) x <= M/m pour tt x£C
donc M/m est un majorant de C

ok merci SAAD007 je continue à forger encore

saad007 a écrit:

bonsoir pour masmoss il ne te reste que demontrer que M/m est le plus petit majorant pour en finir avec cet exo c'est pas difficile (absurde) allez bon courage

Bonsoir saad007 !!!
Je ne suis pas d'accord !!
M/m est simplement un MAJORANT de C , ce n'est pas forcément le +petit pour en être la Borne Sup .
Je conjecture que Sup C =(Sup A)/(Inf B) mais cela reste àprouver bien sûr !!!!
A+

Oeil_de_Lynx a écrit:

saad007 a écrit:

bonsoir pour masmoss il ne te reste que demontrer que M/m est le plus petit majorant pour en finir avec cet exo c'est pas difficile (absurde) allez bon courage

Bonsoir saad007 !!!
Je ne suis pas d'accord !!
M/m est simplement un MAJORANT de C , ce n'est pas forcément le +petit pour en être la Borne Sup .
Je conjecture que Sup C =(Sup A)/(Inf B) mais cela reste àprouver bien sûr !!!!
A+

bonsoir oeil de lynx

alors il nous reste de demontrer que c le plus petit majorant pour montrer que c'est une borne suo
ok pour cela il suffit de supposer qu'il existe P un majorant de C tel que P
qlq soit (a;b) de A * B a/b<=P
alors on a a<=bP; bP est un majorant de A tel que bP>=M
on deduit que pour tt b de B on a b>= (sup A)/P
et (sup A)/P est un minorant de B donc sup A/P<= infB
d'ou M/m est la borne superieure

M=sup A et m=infB

je crois

massmoss a écrit:

bonjour
je crois que j'ai trouvé la réponse de votre question:
A est majorée => il existe M >0 tel que qlq soit a £A on a: a<= M
B est minorée => il existe m>0 tel que qlq soit b £B on a: b>= m
=> qlq soit b £ B on a : 1/b <= 1/m
soit x£C alors x= a/b tel que a £A et b £Bor a<= M et 1/b <= 1/m donc a * (1/b)<=M * (1/m)
==> a/b <= M/m (ie) x <= M/m pour tt x£C
donc M/m est un majorant de C

Ecoutes saad007 !! Pour moi M et m sont ceux dont massmoss parle !!!
Il faut qu l'on soit d'accord !!

BJR saad007 !!!!
Maintenant , tu peux dire la chose suivante :
SupA est en particulier un majorant de A
puis InfB est un minorant de B
a celà tu rajoutes ta démo précédente :
<< alors il nous reste de demontrer que c le plus petit majorant pour montrer que c'est une borne sup
ok pour cela il suffit de supposer qu'il existe P un majorant de C tel que P
qlq soit (a;b) de A * B a/b<=P
alors on a a<=bP; bP est un majorant de A tel que bP>=M
on deduit que pour tt b de B on a b>= (sup A)/P
et (sup A)/P est un minorant de B donc sup A/P<= infB >>
d'ou (supA/infB) <=P >>

et ce sera terminé !!!!
A+