- mathman a écrit:
- Déjà, sans hypothèse de continuité, on peut prouver que f(x) = r*x pour r rationnel.
Ensuite, pour pouvoir passer de "rationnel" à "réel", une des quatre conditions suivantes suffit :
(i) f est continue;
(ii) f est strictement monotone;
(iii) f est bornée sur un segment;
(iv) f est mesurable.
On a [(iii) ==> (i), (ii)] et [(iv) ==> (i), (ii)].
Tu demandes (iv) ==> (i).
On peut en fait prouver quelque chose de plus fort, à savoir :
si (f(x) + f(y))/2 >= f((x + y)/2) et f est mesurable, alors f est convexe.
Je veux laisser le plaisir à ceux qui sont intéressés de s'amuser avec ce que je viens d'écrire, aussi je ne posterai pas de solution tout de suite. 
Mon cher
mathman ce n'est pas par hasard que j'ai posté cet exercice dans la rubrique Agrégation et ce n'est pas aussi facile que tu le crois,je te laisse le soin de trouver toi même ton erreur.
Démonstration:soit f(x) une fonction mesurable (L) satisfaisant pour tous x et y l'équation f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)Soit x_o un nombre réel donné,t un nombre positif donné quelconque,soit (a,b) un intervalle donné entourant x.D'après le théoreme de M.Lusin,il existe pour toute fonction mesurable f(x) et pour tout nombre positif u,en particulier pour u=(a-b)/3,une fonction F(x),continue(pour tous les réels x) et telle que l'égalité f(x)=F(x)
(2) subsiste pour tous les nombres x de l'intervalle (a,b) sauf les nombres x formant un ensemble E de mesure<u.
La fonction F(x) étant continue, il existe pour le nombre t un nombre positif T=T(t)<u te lque l'inégalité IhI<T
(3)entraîne pour les nombres x de (a,b) l'inégalité IF(x+h)-F(x)<t
(4)Soit h un nombre quelconque verifiant IhI<T,f(x)=F(x) subsiste pour tous les nombres x de (a,b) sauf les nombres de l'ensemble E de mesure <u nous avons alors f(x+h)=F(x+h)
(5)subsiste pour les nombres x de l'intervalle (a,b) sauf les nombres x de l'ensemble G de mesure <u+IhI<u+T.
L'ensemble des nombres x de (a,b) pour lesquels ne subsiste une au moins des formule
(2)et
(5) a donc une mesure<m(E+G)<2u+T<3u<b-a.
Il en resulte qu'il existe dans (a,b) un point x (dépendant de h) pour lesquels subsistent à la fois les formules
(2),(4) et
(5).Or
(4) donne d'après
(2)et
(5) If(x+h)-f(x)I<t
(6)D'autre part d'après
(1)nous avons:
f(x+h)=f(x)+f(h) et f(x_o+h)=f(x_o)+f(h) et donc f(x+h)-f(x)=f(x_o+h)-f(x_o)
L'inegalité
(6) donne donc If(x_o+h)-f(x_o)I<t
(7).Nous avons donc démontré qu'il existe pour tout nombre x_o et tout nombre positif t un nombre T tel que l'inégalité
(3)entraîne l'inegalité
(7)ce qui démontre la continuité de la fonction f(x).
CQFD.
Accueil 
