somme de racines

Un truc qui m'a semblé amusant : trouvez le barycentre des racines primitives 45 ième de l'unité .


lolo qui n'a toujours pas de solution pour les nilpotents

phi(45)=phi(9)phi(5)=6*4=24, il ya 24 racines primitives de 45.
Plus précisement,
A={1,2,4,7,8,11,13,14,16,17,19,22,23,26,28,29,31,32,34,37,38,41,43,44}

Soit w=exp(2iPi/45), et z le barycentre cherché alors
24z= (somme sur k de A) w^k

Il et facile de calculer
a=(somme sur k de 1 à 15) w^(3k)
b=(somme sur k de 1 à 9) w^(5k)
c=(somme sur k de 1 à 3) w^(15k)
s=(somme sur k de 1 à 45) w^(k)
Donc
24z= s+a+b-c

P.S Pour les nilpotents on verra plus tard

Oui très bien ! On peut aussi calculer les deux premiers termes du polynôme cyclotomique phi_45(X).

lolo

lolo a écrit:

On peut aussi calculer les deux premiers termes du polynôme cyclotomique phi_45(X).

Exact.
On peut ignorer le premier, c'est 1 par définition.
Et vu qu'on sait que phi_45(x) = phi_15(x^3) ça se fait sans calcul!

(Juste pour écrire la réponse explicitement : 0.)