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 Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu

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ali_tox
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ali_tox

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MessageSujet: Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu   Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu EmptyJeu 30 Aoû 2007, 14:26

Exercice 4

Trois nombres réels vérifient les deux propriétés suivantes :
(P1) Le carré de leur somme est égal à la somme de leurs carrés ;
(P2) Le produit des deux premiers est égal au carré du troisième.
Trouver ces nombres.

Exercice 5

Chacun des chiffres 1, 3, 7 et 9 figure au moins une fois dans la représentation décimale de l’entier naturel n. Montrer que l’on peut permuter les chiffres de n pour obtenir un multiple de 7.

Exercice 6

Un quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle de diamètre [AB]. Supposons que (AB) et (CD) se coupent en I, (AD) et (BC) en J, (AC) et (BD) en K. Soit N un point de [AB].
Montrer que (IK) est perpendiculaire à (JN) si et seulement si N est le milieu de [AB].
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radouane_BNE
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radouane_BNE

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MessageSujet: Re: Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu   Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu EmptySam 01 Sep 2007, 12:29

Exercice 5!
c'est pas du tout un exerice pour olympiade d'afrique car c'est tellement facile.
désignons par a,b et c les treois nombres cherchés.
d'aprés P1 et P2 =>
(a+b+c)²=a²+b²+c² (*) et ab=c² (**)
tout d'abord si a=0 on peut donner n'importe quelle valeur à b
et si b=0 on peut donner n'importe quelle valeur à a.
d'autre part:
(*)<=>ab+bc+ca=0 <=>c²+bc+ca=0 <=>c(c+b+a)=0
<=>c=0 ou a+b+c=0
si c=0 =>a=0 ou b=0
de mème si a=0 =>b=0
si b=0=> a=0
si a+b+c=0 => a²+b²+c²=0 => a=b=c=0
en somme (a,b,c)=(m,0,0);(0;n,0);(0,0,0)
ou bien (a,b,c)=(m,0,0);(0,n,0) tels que (m,n) £ IR.
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neutrino
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MessageSujet: Re: Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu   Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu EmptySam 01 Sep 2007, 12:40

ali_tox a écrit:
Exercice 4

Trois nombres réels vérifient les deux propriétés suivantes :
(P1) Le carré de leur somme est égal à la somme de leurs carrés ;
(P2) Le produit des deux premiers est égal au carré du troisième.
Trouver ces nombres.


soit x,y,z les nombres cherchés

ona : (x+y+z)² = x²+y²+z²
xy= z²
==> 2(xy+yz+zx) = 0
xy=z²
==> 2 ( z²+yz+zx)=0
==> z²+2yz+y² + z²+2zx+x² = x²+y²
==> (z+y)² + ( z+x)² - x²-y²=0
==> z ( z+2y) + z ( z+2x) = 0
==> z ( 2z+2(y+x) ) =0
==> z=0 ou z=-(y+x)
lol!
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neutrino
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MessageSujet: Re: Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu   Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu EmptySam 01 Sep 2007, 12:42

dsl , Embarassed jé lu seulemnt le début du msg du mr radouane et jé cru qu'il a résolu l'exercice 5 , dsl encore Embarassed
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radouane_BNE
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radouane_BNE

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MessageSujet: Re: Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu   Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu EmptySam 01 Sep 2007, 12:44

Neutrino, si tu discutes les deux cas tu vas arriver au mème résultat.et je sais pas poursuoi t'as fait tous ces étapes pour arriver un un résultat assez direct.
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neutrino
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MessageSujet: Re: Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu   Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu EmptySam 01 Sep 2007, 12:46

boukharfane radouane a écrit:
Neutrino, si tu discutes les deux cas tu vas arriver au mème résultat.et je sais pas poursuoi t'as fait tous ces étapes pour arriver un un résultat assez direct.

oué tu as réson alien
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MessageSujet: Re: Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu   Problèmes de la 14ème Olympiade Pan Africaine de Mathématiqu Empty

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