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 une personne aura deux cartes portant le même numéro.

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samir
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samir

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MessageSujet: une personne aura deux cartes portant le même numéro.   une personne aura deux cartes portant le même numéro. EmptyMar 28 Fév 2006, 18:10

25 personnes sont assises autour d'une table ronde.
Chacune possède deux cartes ; sur chacune des cartes est écrit un des entiers 1, 2, … , 25 et chacun de ces entiers est écrit sur exactement deux cartes.
A un signal donné, chaque personne donne sa carte ou l'une de ses cartes de plus petit numéro à son voisin de droite, la distribution se faisant de façon simultanée.
Montrer qu'après un nombre fini de telles opérations, une personne aura deux cartes portant le même numéro.

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mathman
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MessageSujet: Re: une personne aura deux cartes portant le même numéro.   une personne aura deux cartes portant le même numéro. EmptyDim 01 Oct 2006, 09:04

Ok, considérons le plus grand nombre k qui est changé infiniment souvent; alors tout nombre plus grand finit par devenir stationnaire, donc on peut supposer qu'ils ne sont plus changés.
Alors chacun a une carte de valeur supérieure à k; sinon, quand il obtiendrait la carte k, il aurait une paire ou il passerait l'autre carte
Donc, il y a au moins 25 cartes stationnaires.
De l'autre côté, il y a toujours 25 cartes qui sont changées, donc exactement 25 cartes sont stationnaires.
Mais vu que chacun a une carte supérieure à k, il donne toujours les cartes plus petites que k; donc exactement les cartes de valeur supérieure à k sont stationnaires; mais ce nombre est pair, contradiction.
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