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 défit 1

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aannoouuaarr
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MessageSujet: défit 1   défit 1 EmptyVen 07 Sep 2007, 11:47

soit (x_n) une suite d'entier naturels definie comme suit:

x_0 est un entier naturel
x_n+1=x_n/2 (si x_n est pair)
x_n+1=x_n+2007 (sinon)

1)montrer que la suite (x_n) devient periodique appartir d'un certain rang.
2)montrer que l'ensemble E={x_0 / (x_n) est periodique} est fini.
3)déterminer la valeure de maxE
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aannoouuaarr
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MessageSujet: Re: défit 1   défit 1 EmptySam 08 Sep 2007, 21:04

personne ne veut essayer...??!!!!!!
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aannoouuaarr
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MessageSujet: Re: défit 1   défit 1 EmptyDim 09 Sep 2007, 14:13

puisque personne n'a essayé, je vs propose la solution de la 1ere question:
1)si x_0<=2007
montrons par recurrence que les termes impairs de la suite sont inf a 2007: supposons que x_n est un terme impair inf a 2007 alors x_(n+1) est un terme pair inf a 4014 d'ou u=min{x_i/x_i>x_n et x_i est impair}=x_(n+1)/2^m (m est entier naturel non nul) cad u<=x_(n+1)/2<=2007.
montrons par recurrence que les termes impair sont inf a 4014:
si x_0 est un terme pair alors il est inf a 4014 si x_0 est impair alor x_1 est pair et inf a 4014 supposons x_n est pair et inf a 4014 alors x_n+1<=2007 (si x_n+1 et pair alor c terminé) sinon x_n+1 est impair d'ou x_n+2=x_n+1+2007 est pair et inf a 4014 car x_n+1 est inf a 2007. donc pr tt n: x_n<=4014
si x_0>2007
de la meme facon on demontre que les termes impair sont inf a x_0 d'ou les termes pairs sont inf a x_0+2007 cad que pr tt n: x_n<=x_0+2007
-et dans les 2 cas on a : x_n<=max{4014,x_0+2007}
on pose k=max{4014,x_0+2007} alors on a x_0,x_1,x_2....,x_k sont k+1 termes compris entre 1 et k d'ou il existe i et j(i<j) appartenant a {0,1,2,...,k} tel que x_i=x_j d'ou x_(i+1)=x_(j+1),x_(i+2)=x_(j+2),....
donc la suite x_n devient periodique appartir de i et sa periode est T=j-i
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Alaoui.Omar
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Alaoui.Omar

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MessageSujet: Re: défit 1   défit 1 EmptyDim 09 Sep 2007, 14:46

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