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 polynome

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bel_jad5
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Masculin Nombre de messages : 529
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MessageSujet: polynome   polynome EmptyLun 06 Mar 2006, 12:07

soient n un entier naturel et a, b1,c1,b2,c2,...,bn, cn des réels
prouver que si
x^2n+ax^(2n-1)+ax^(2n-2)....+ax+1=(x²+b1*x+c1)(x²+b2*x+c2)...(x²+bn*x+cn)
alors c1=c2=c3=...=cn=1
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mathman
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Masculin Nombre de messages : 967
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Date d'inscription : 31/10/2005

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MessageSujet: Re: polynome   polynome EmptyJeu 06 Juil 2006, 07:42

Salut,

je viens de résoudre ce problème, et je dois dire qu'il est assez dur..

Voilà un indice pour ceux qui veulent chercher :
Vous devez montrer que toutes les solutions complexes de ce polynôme ont une valeur absolue égale à 1, et que les deux racines restantes sont réelles.
Pour faire ceci, vous devez trouver au moins 2n-2 valeurs de t t.q. f(e^{it})=0.
Maintenant écrivez ça comme une fonction trigonométrique en t, et montrez que cette fonction change de signe 2n-2 fois, donc elle a 2n-2 solutions.
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polynome
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