adherance

trouver adherance de cos (n^x) dans [-1.1]

Bonjour
Question non précise!
Adhérence de quel ensemble ?

peut-être veut il dire les valeurs d'adhérence ??

Soit (x_n) une suite de réels telle que x_(n+1)-x_n --->0.
alors {cos(x_n)/ n€IN} est dense dans [-1,1]

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit (x_n) une suite de réels telle que x_(n+1)-x_n --->0.
alors {cos(x_n)/ n€IN} est dense dans [-1,1]

Il doit manquer une condition (x_n -> +oo ?) car une suite constante est un contre-exemple.

ThSQ a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit (x_n) une suite de réels telle que x_(n+1)-x_n --->0.
alors {cos(x_n)/ n€IN} est dense dans [-1,1]

Il doit manquer une condition (x_n -> +oo ?) car une suite constante est un contre-exemple.

Effectivement !

C'est sûrement un peu présomptueux de ma part de poster dans la rubrique agrégation ! Mais un essai quand même.

Soit A = cos(a) € [-1;1], soit eps € IR+*

Il existe d € IR+*, d < pi, et |x-a| < d => |cos(x) - cos(a) | < eps

Il existe N0 tq n >= N0 => |u(n+1)-u(n)| < d < pi

A = { n, n > N0, il existe k € IN, u(n) >= a+2*k*pi }
A est non vide car u(n) -> +oo
Soit n0 = min A (une partie non vide de IN admet un plus petit élément).
Alors |u(n0)- a+2*k*pi | <= |u(n0)-u(n0-1)| <= d

Alors |cos(u(n0)) - A| < eps par périodicité de cos et cos(u(n)) est bien dense dans [-1;1]

Le résultat tient aussi avec sin et toute fonction périodique C° : f(n) est dense dans f(IR+*).

ThSQ a écrit:

C'est sûrement un peu présomptueux de ma part de poster dans la rubrique agrégation ! Mais un essai quand même.

Soit A = cos(a) € [-1;1], soit eps € IR+*

Il existe d € IR+*, d < pi, et |x-a| < d => |cos(x) - cos(a) | < eps

Il existe N0 tq n >= N0 => |u(n+1)-u(n)| < d < pi

A = { n, n > N0, il existe k € IN, u(n) >= a+2*k*pi }
A est non vide car u(n) -> +oo
Soit n0 = min A (une partie non vide de IN admet un plus petit élément).
Alors |u(n0)- a+2*k*pi | <= |u(n0)-u(n0-1)| <= d

Alors |cos(u(n0)) - A| < eps par périodicité de cos et cos(u(n)) est bien dense dans [-1;1]

Le résultat tient aussi avec sin et toute fonction périodique C° : f(n) est dense dans f(IR+*).

Ces jours, c'est rare de trouver comme cette élégante démonstration. Toutes mes félicitations.

abdelbaki.attioui a écrit:

Ces jours, c'est rare de trouver comme cette élégante démonstration. Toutes mes félicitations.

Merci !