probleme

1)Une fete reunit 5 amis.Chacun donne un cadeau à un seul autre et chacun recoit un cadeau d’un seul autre .De combien de manieres une telle distribution est-elle possible ?
A)5 B)10 C)24 D)44 E)120

BJR El maspixho !!!
Tu as déjà posé ce Pb en << Première >> !!!!
Si je comprends bien le problème , il y aurait CINQ cadeaux en tout mais qui vont changer de propriétaire ???
Le problème est , dit autrement , de chercher les permutations f de l'ensemble {1,2,3,4,5} telles que f(i) <> i pour tout i =1,2,...5
Une permutation de {1,2,3,4,5} est une bijection de cet ensemble sur lui-même .On sait qu’il y en a en tout 5 !=120
On va chercher toutes les permutations satisfaisantes parmi les 120 existantes.
1)Supposons qu’il existe i et j distincts tels que f(i)=j et f(j)=i ce qui correspond à 2 amis qui s’échangent les cadeaux !!!
Par exemple i=1 et j=2 alors f(1)=2 et f(2)=1 il reste à définir f(3), f(4) et f(5) à choisir dans {3,4,5}avec les conditions f(3)<>3 ; f(4)<>4 et f(5)<>5 !!!!!
Ici , on ne pourrait pas avoir de nouveau 2 amis qui s’échangent les cadeaux SINON le dernier qui reste gardera pour lui le cadeau qu’il a acheté !!!!! Chose qui est exclue !!!!!
Par conséquent , pour définir f(3), f(4) et f(5) , il nous reste que la PERMUTATION CIRCULAIRE f définie par f(3)=4 , f(4)=5 et f(5)=3 ou son carré fof défini par : fof(3)=5 , fof(4)=3 et fof(5)=4
En conséquence , comme il y a C(2,5) =10 façons possibles de choisir les couples (i,j) et que pour chaque choix de ce couple il ya 2 manières de compléter f alors on aura 20 exemples de f favorables !!!!
2)S’il n’existe pas d’indices i et j distincts tels que f(i)=j et f(j)=i c.à.d que 2 amis quelconques parmi les 5 ne s’échangent pas leurs cadeaux , alors la seule permutation répondant à la question est la PERMUTATION CIRCULAIRE f définie par :
f(1)=2
f(2)=3
f(3)=4
f(4)=5
f(5)=1
et ses autres puissances fof , fofof et fofofof
On obtiendra 4 autres solutions du problème f, fof , fofof et fofofof
EN CONCLUSION : le Pb posé par Toi admet 24 solutions possibles !!!!
REMARQUE : on a exclu fofofofof du décompte car fofofofof=Id

Salut M.lhassane !!!

moi j'avais trouvé que c'etait 44 solutions et voila ma demo:
Il y a 2 structures de dons possibles :
-ou bien la chaine des dons est un cycle à 5 éléments, et il y a alors 4*3*2 manieres pour la distribution des cadeaux ;
-ou bien il ya deux cycles , l'un à 3 éléments,l'autre à 2 éléments (échange de cadeaux entre 2 amis).
et il ya 10 façons ( C(3,5) ) de choisir le cycle de 3éléments avec chaque fois 2 manieres pour la distribution.
Finalement:(4*3*2)+(2*C(3,5))=24+20=44

vous trouvez que c'est juste ou faux ?

El maspixho a écrit:

Salut M.lhassane !!!

moi j'avais trouvé que c'etait 44 solutions et voila ma demo:
Il y a 2 structures de dons possibles :
-ou bien la chaine des dons est un cycle à 5 éléments, et il y a alors 4*3*2 manieres pour la distribution des cadeaux ;
-ou bien il ya deux cycles , l'un à 3 éléments,l'autre à 2 éléments (échange de cadeaux entre 2 amis).
et il ya 10 façons ( C(3,5) ) de choisir le cycle de 3éléments avec chaque fois 2 manieres pour la distribution.
Finalement:(4*3*2)+(2*C(3,5))=24+20=44

vous trouvez que c'est juste ou faux ?

BJR El maspixho !!!!
Nous sommes d'accord quant à l'approche du Pb !!
1) Si c'est un cycle à 5 éléments ( et c'est le maximum) il est donc d'ordre 5 et c'est bien la permutation circulaire f={2,3,4,5} que j'ai prise dans ma soluce celle-ci donnera donc f^2,f^3,f^4 autres répartitions ON ne prendra pas f^5 car f^5=Id est à rejeter !!! donc là on a 4 répartitions possibles .
2) Les 20 autres on est d'accord tous les deux ( une seule transposition et un cycle de longueur 3 )
Je maintiens 24 possibilités !!!
A+ LHASSANE

Salut M.lhassane !!!
1)Si il y a 5 éléments dans un cycle alors il y aura 4*3*2=24 façons de classer ces éléments dans le cycle puisque c'est une permutation circulaire alors il y aura 24 manieres de repartir les cadeaux .
en plus des 20 manieres sur lesquelles on est d'accord ça fait 44.
J'espère que c claire .a+
Merci pour votre avis

El maspixho a écrit:

Salut M.lhassane !!!
1)Si il y a 5 éléments dans un cycle alors il y aura 4*3*2=24 façons de classer ces éléments dans le cycle puisque c'est une permutation circulaire alors il y aura 24 manieres de repartir les cadeaux .
en plus des 20 manieres sur lesquelles on est d'accord ça fait 44.
J'espère que c claire .a+
Merci pour votre avis

BSR El maspixho !!!
Wellah , ce n'est pas le Café ou Lehtira qui me manque !!!
Mais je n'ai pas bien saisi ce qui est en ROUGE !!
Non , je suis convaincu que c'est 4 et non 24 .
A+ ( Après le Ftour !!)

BSR M.lhassane !!!
dsl c urgent je dois partir , je pourrais repondre lors de ma prochaine connexion .
A+
merci bcp pour votre participation

El maspixho a écrit:

Salut M.lhassane !!!
1)Si il y a 5 éléments dans un cycle alors il y aura 4*3*2=24 façons de classer ces éléments dans le cycle puisque c'est une permutation circulaire alors il y aura 24 manieres de repartir les cadeaux .
en plus des 20 manieres sur lesquelles on est d'accord ça fait 44.
J'espère que c claire .a+
Merci pour votre avis

BJR El maspixho !!!
Je ne sais ce que j'avais hier !!!!
Je faisais une FIXATION sur ma permutation circulaire {2;3;4;5;1} .
En fait ,
TU AS COMPLETEMENT RAISON !!!!
Dans la 1ère situation : s'il n'existe pas de transposition ( 2 amis quelconques ne s'échangent pas leurs cadeaux ) alors il faur dénombrer les permutations f tq f(i)<>i pour tout i avec absence de cycle d'ordre 2 .
f(1) sera choisi dans {2,3,4,5}
f(2) sera choisi dans {1,2,3,4,5}\{2,f(1)}
f(3) sera choisi dans {1,2,3,5}\{3,f(1),f(2)}
f(4) sera choisi dans {1,2,3,4,5}\{4,f(1),f(2),f(3)}
enfin f(5) sera égal au dernier choix restant .
Donc effectivement 4.3.2.1=24 autres répartitions possibles et par suite 44 répartitions au total !!!