Wonderfull ! ABC

ABC est un triangle non équilatéral et l'on pose a=BC , b=AC , c=AB
Déterminer les points M du plan (ABC) tels que : (b²-c²)MA² + (c²-a²)MB² + (a²-b²)MC² = 0

allez un peu de rigueur comme mème

salam

remarque : (b²-c²)+(c²-a²)+(a²-b²) = 0

on peut supposer par exp : b#c ( non équilatéral)

on note : u=b²-c² , v=c²-a² , w=a²-b² ,O le centre du cercle ABC

en vecteurs:

u.(MO+OA)² + v.(MO+OB)² + w.(MO+OC)² = 0

(u+v+w).MO² + 2MO( u.OA + v.OB + w.OC) + (u+v+w).R²=0

R = OA=OB=OC et u+v+w=0

====> 2MO.( u.OA+v.OB+w.OC)) = 0

or : u.OA+v.OB+w.OC= (u+v+w).OA + v.AB + w.AC

comme v+w = -U #0

le barycentre G de (B,v) et (C, w) existe

donc : v.AB + w.AC = (v+w).AG = -u.AG

G#A sinon v=w=0 ===> u=0 (absurde) car AB et AC non colinéaires.

enfin : 2u.OM.AG = 0

===> OM orthogonal à AG

l'ensemble des points M est la droite :

passant par O et perpendiculaire à (AG).


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