(a^b)*(avb)=ab

salut tout le monde;un ami m'a demandé la dem du théorème
a et b dans IN*, on a:
PGCD(a,b)*PPCM(a,b)=ab
démonstration:
on pose :PGCD(a,b)=avb=m et a^b=PGCD(a,b)=d
montrons que md=ab
a^b= d => il existe u et v premiers eutre eux ;
a=du et b=dv
on a a/ uvd et b/uvd => m/uvd => md/dduv => dm/ab (1)
- m=a v b => il existe k_1 et k_2 ; m=ak_1 = bk_2
alors uk_1 =vk_2
alors u/k_2 (Gauss)
alors k_2= k'_2u donc
m=dvuk'_2 => dm = dudvk'_2 = abk'_2
alors ab /md (2)
(1) et (2) => (avb)*(a^b)= ab
amicalement.

aussi , on peut ecrire a=((a_1)^(d_1))......((a_n)^(d_n))
et b= (a_1)^(c_1) ......((a_n)^(c_n))

doù PGCD(a,b)= (a_1)^(inf(d_1,c_1)).........(a_n)^(inf(d_n,c_n)
et PPCM=(a_1)^(sup(d_1,c_1)).........(a_n)^(sup(d_n,c_n)
et sup(a_k,b_k)+inf(a_k,b_k)=a_k+b_k
donc PGCD(a,b)*PPCM(a,b)=ab

J'ai déjà poster une réponse à ça je sais plus ou ^^

wé c'est vrai codex,c'éatit une question que j'avais posé précedemment