Continuité-Accroissement finis

Bonjour,
Pouvez vous m'aider a resoudre cet exercice
Exercice:
1)Determiner lim x sin(1/x) en a, pour a=+infini puis a=-infini.
2)Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur IR?
a.f(x)=(1/x) ln((exp x+exp -x)/2)
b. f(x)=sinx sin(1/x)
3)Montrer que les equations suivantes admettant au moins une solution reelle
a. (1/2) cosx - 1/{(x+1)^2}=0
b. x^(3)-3x^(2)+15x-7=0
c. 1+sinx-x^(2)=0

Je vous remerci infiniment d'avance.

salamo3alayekome.

1. poser t=1/x vous trouvez donc:
pour les deux cas c'est la même chose (0- ou 0+), ona :
lim x sin(1/x) = lim sin(t)/t=1
2. a. le seul pb est au point 0:
lim f(x)=lim ln((exp x +exp -x)/2)/x
on trouve dès le départ F.I. 0/0 :
en utilisant la règle de l'Hospital, on trouve: lim f(x)=0.
donc elle est prolongeable par continuité sur IR.
b. le seul pb est eu point 0:
en utilisant l'encadrement, on trouve :
|f(x)|<=|sin(x)|=v(x)
or lim v(x)=0
d'où lim f(x)=0
ainsi f est prolongeable par continuité sur IR.
3.a. utilisez le théorème des valeurs intermédiaire T.V.I. pour la fonction f(x)=(1/2) cosx - 1/{(x+1)^2} sur l'intervalle [0, 2pi].
b. utilisez le théorème des valeurs intermédiaire T.V.I. pour la fonction f(x)= x^(3)-3x^(2)+15x-7 sur l'intervalle [0 , 1].
c. utilisez le théorème des valeurs intermédiaire T.V.I. pour la fonction f(x)=1+sinx-x^(2) sur l'intervalle [0 , pi].

wa salamo3alayekome.

Salem
Je vous remercie infinement pour votre aide "je sais que je sais rien
".

Salut
Pour montrer que f(x)=1/(1-x)-2/(1-x^2) est prolongeable par continuité sur IR.
le pb est eu point 1 et (-1) ou au point 1 seulement puisque f(x)=-1/(1-x).

MERCI.

BJR chercheuse !!!
Ta fonction telle qu'elle est donnée AU DEPART présente des problèmes aux points xo=-1 et x1=1.
Cependant si on l'écrit ainsi :
f(x)=(x-1)/(1-x^2) après mise au même dénominateur , puis :
f(x)=-{(1-x)/(1-x)}.1/(1+x)
On s'aperçoit que l'on peut prolonger f par continuité au point x1=1 ; en effet tant que x<>1 on peut SIMPLIFIER ( On dit qu'on lève l'indétermination ) et écrire
f(x)=-1/(1+x) donc Limf(x) =-1/2 quand x---->1
On peut poser f(1)=-1/2 et le Pb est REGLE au point x1=1 .
MAINTENANT , f(x)=-1/(1+x) et là IL Y A PROBLEME en xo=-1 car Limf(x) est oo lorsque x-----> -1 .
On ne peut pas prolonger par continuité f au poin xo.
A+ LHASSANE

Bonjour
Merci beaucoup Oeil_de_Lynx.
Pouvez-vous m'expliquer le prolongeament par contnuité graphiquement (par une representation graphique).

BJR chercheuse !!!
Soit g: x---------> g(x)
définie sur ]a;b[ sauf en un point c tel que a<c<b ; on suppose g continue sur Dg=]a;b[\{c}
Si Lim g(x) lorsque x---->c avec x<>c existe et vaut L
alors si on pose g(c)=L on obtiendra une fonction G définie sur
]a;b[ tout entier , en posant G(x)=g(x) si x<>c et G(c)=L
la fonction G ainsi définie est CONTINUE partout sur ]a;b[ et s'appelle le prolongement par continuité de g au point x=c.
A+ LHASSANE

Bonjour
Merci encore une fois Oeil_de_Lynx.

bonjour a tous
Pouvez-vous me montrer a l'aide de théorème des accroissement finis que: quelque soit x dans ]0,pi/2[, tg(x)>x+(x^3)/3.
Merci.