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 Suite arithméticogéométrique.

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Lagalère
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Féminin Nombre de messages : 2
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MessageSujet: Suite arithméticogéométrique.   Suite arithméticogéométrique. EmptyJeu 11 Oct 2007, 11:08

Bonjour, j'éprouve quelques difficultés à résoudre l'exercice suivant:

Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1 500 employés. Une étude montre, que lors de chaque année à venir, 10% de l'effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l'année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année. Pour tout entier naturel n, on appelle u(n) le nombre d'employés de l'entreprise le 1er janvier de l'année (2005+n).
1/a) Calculer u(0), u(1), u(2).
La suite u de terme général u(n) est-elle arithmétique? géométrique? Justifier les réponses.
b) Pour tout entier naturel n, exprimer u(n+1) en fonction de u(n).
2/ Pour tout entier naturel n, on pose: v(n)= u(n)-1 000.
a) Démontrer que la suite v de terme général v(n) est géométrique. Préciser sa raison.
b) Exprimer v(n) en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, u(n)= 500*0,9^n + 1 000.
c) Déterminer la limite de la suite u.
3/ Démontrer que, pour tout entier naturel n, u(n+1)-u(n)= -50* 0.9^n.
En déduire le sens de variation de la suite u.
4/ Au 1er janvier 2005, l'entreprise compte un sureffectif de 300 employés. A partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise ne sera-t-elle plus en sureffecif?

Pour l'instant, j'ai trouvé 1/a) u(0)=1 500; u(1)=1 450; u(2)=1 405 et que la suite u de terme général u(n) est arithméticogéométrique(mais, je ne sais pas comment l'expliquer).
b) u(n+1)=0,9u(n) +100
Mais, la suite ne me paraît pas aussi évidente.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Suite arithméticogéométrique.   Suite arithméticogéométrique. EmptyJeu 11 Oct 2007, 11:31

BJR Lagalère !!!
Il suffit de chercher, pour suite arithmético-géométrique , voir le lien suivant :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique
Les résultats que tu as trouvés sont JUSTES !!!!
Je suis persuadé que tu peux continuer tout seul !!!!
A+ LHASSANE
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Suite arithméticogéométrique.   Suite arithméticogéométrique. EmptyJeu 11 Oct 2007, 12:52

Re-BJR Lagalère !!
Pour la 4) un peu diifficile , un coup de pouce !!!!
Au 01/01/2005 la société est en sureffectif de 300 employés cela veut dire puisque elle compte 1500 employés selon l'énoncé que SON EFFECTIF NORMAL est de 1200 employés ; le processus de Départ-Retraite plus Embauche génère la suite {Un}n définie par :
Un=500.(0.9)^n+1000
Il faudra par calcul chercher l'entier n pour lequel Un=1200 qui correspond au retour à la normale . Donc :
1200=500.(0.9)^n+1000
200=500.(0.9)^n
0.4=(0.9)^n
n=Ln(0.4) / Ln(0.9) vaut à peu près 8.69....
Par conséquent , il faudra attendre 9 ans pour que la Société retrouve son équilibre au point de vue effectif . c.à.d 1200 employés.
A+ LHASSANE
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