exo de géométrie

L'Exercice 1 proposé aux olympiades français 2006 Orléans-Tours
ABC est un triangle isocèle (AB = AC) dont l'angle A est obtus . On prendra AB = 8cm.
Toutes les constructions demandées se feront à la règle et au compas.
On laissera apparentes les constructions intermédiaires.

1. Sur votre feuille, compléter le triangle ABC par deux points D , E de telle sorte que AB=BD=DE=EC,
que la figure ABDEC admette pour axe de symétrie la bissectrice de l'angle et que les points D et A
ne soient pas du même côté de la droite (BC).

2. En déduire la construction d'un pentagone AMNPQ dont les 5 côtés ont la même longueur et tel que le point M appartienne au segment [AB], les points N et P appartiennent au segment [BC] et le pont Q appartienne au segment [CA]. On expliquera et justifiera le construction.

3. On suppose que le pentagone ABDEC de la question 1. est régulier.
Quelle est la valeur nécessaire de l'angle A ? on note cette valeur et on pose
.
(a) Montrer que cet angle (alpha) est égal (angle{ABC}) à l'angle dans le triangle ABC, et qu'il vérifie:



(b) On suppose que angle{A}=beta. Démontrer que le pentagone ABDEC est régulier