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 un spirale

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samir
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samir

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MessageSujet: un spirale   un spirale EmptyMar 21 Mar 2006, 23:47

L'Exercice 1 proposé aux olympiades français 2006 National
Le plan, muni d'un repère orthonormal d'origine O (unité = 1cm), est quadraillé par les droites parallèles aux axes de coordonnéeset passant par tous les points à coordonnées entières du plan.

Sur ce quadrillage on construit,en partant du point O vers le bas, une ligne brisée en forme de "spirale" qui tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une monre,(voir dessin en dessous).

Pour tout point M à coordonnées entières, on note L(M) la longueur de la portion de "spirale" qui va du point O jusqu'au point M.
un spirale Spirale4em
1: Soit A un point de l'axe des abscisses tel que OA = 5. Déterminer les valeurs possibles de L(A).
2: Soit B le point de coordonnées (2005 ; 2006). Déterminet L(B).
3: Déterminer les coordonnées du point C tel que L(C) = 2006.
4: La "spirale" passe-t-elle effectivement par tous les points à coordonnées entières du plan?

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MessageSujet: Re: un spirale   un spirale EmptyMer 22 Mar 2006, 09:51

on calcul L(n) la longueur correspondant au point M(n,n)
L(0)=0
L(1)=4
Pour n>0, L(n+1)=L(n)+le périmétre du carré de côté (n+1)+n. On peut remarquer que L(n) est la somme des pérmétres des carrées concentriques .
On a alors L(n+1)=L(n)+4(2n+1)
Donc L(n)=4n² (pour n>=0) . Avec cette relation on repend à toute les questions.

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Dernière édition par le Mer 22 Mar 2006, 13:13, édité 2 fois
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MessageSujet: cordialement   un spirale EmptyMer 22 Mar 2006, 12:01

hi abdelbaki.attioui !! t as beau etre le chempion de la semaine mais la c ps ton jour !
L(n)=(2n)²
cordialement afro !
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MessageSujet: Re: un spirale   un spirale EmptyMer 22 Mar 2006, 12:06

je n'ai pas vérifier. je pense que tu as compris la démarche.
La formule L(n+1)=L(n)+4(2n+1) est juste

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MessageSujet: Re: un spirale   un spirale EmptyMer 22 Mar 2006, 12:14

il suffit de remarquer que
L(n+1)=L(n)+8n+4
=L(n)+(2(n+1))²-(2n)²
d ou on tire que L(n)=(2n)²
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MessageSujet: Re: un spirale   un spirale EmptyMer 22 Mar 2006, 12:21

L'essentiel pour moi est de trouver la relation. le calcul est secondaire mais pas toujours ( dans un examen par exemple)

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MessageSujet: Re: cordialement   un spirale EmptyMer 22 Mar 2006, 13:16

bel_jad5 a écrit:
hi abdelbaki.attioui !! t as beau etre le chempion de la semaine mais la c ps ton jour !
L(n)=(2n)²
cordialement afro !

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