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 démonstration: un isomorphisme de groupes

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abdelbaki.attioui
izaabelle
6 participants
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izaabelle
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izaabelle


Nombre de messages : 9
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MessageSujet: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptyMer 22 Mar 2006, 20:25

bonsoir,

je veux démontrer que tout groupe G fini d'ordre n est isomorphe à F= GLn(K) (l'ensemble des matrices carrées d'ordre n inversibles à coefficients dans K, et K=R ou C), j'ai considéré une application de G dans F, j'ai voulu démontrer que c'est un isomorphisme, j'ai posé les éléments de G comme ceci {e1,e2,..,en} histoire d'écrire les choses clairement, espérant que ça me "souffle" la solution!! mais bon, rien à faire, je ne vois pas comment commencer mon idée, ni quoi prendre comme application.

j'y réfléchirais encore mais ça m'aiderais que quelqu'un me mettes dans la bonne voie.

merci d'avance
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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptyJeu 23 Mar 2006, 08:46

C'est etrange. Deux groupes finis sont isomorphes ont le même ordre. Quell est l'ordre de GL_n(K)?
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izaabelle
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izaabelle


Nombre de messages : 9
Date d'inscription : 19/03/2006

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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptyJeu 23 Mar 2006, 13:49

ben justement GLn c'est les matrices carrées d'ordre n !! c'est le même que l'ordre du groupe!

j'ai déjà réussi à démontrer que tout groupe fini G d'ordre n est isomorphe à Sn (l'ensemble des bijections de {1,2,..,n} à {1,2,..,n} = ça contient les permutations et les transpositions, je ne sais pas si c'est clair??)

il a suffit de prendre une application de G dans Sn et de montrer que c'est un isomorphisme (par exemple l'automorphisme intérieur!)

mon problème en fait c'est de trouver l'isomorphisme de G dans GLn[K]
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lolo
Maître



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Date d'inscription : 12/12/2005

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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptyJeu 23 Mar 2006, 21:39

c'est quoi ta définition d'isomorphisme ?
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Go Morocco
Débutant



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Date d'inscription : 08/04/2006

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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptySam 08 Avr 2006, 16:52

Salam
je pense que n'importe quel groupe d'ordre n, ne peut pas être ismorphe à Sn, car ils auront le même ordre, par contre l'ordre de Sn est (n!)???
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herdubreid
champion de la semaine



Nombre de messages : 19
Date d'inscription : 12/04/2006

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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptyMer 12 Avr 2006, 11:06

Il ya beaucoup de confusion dans ces messages...

Go Morocco a raison : l'ordre de S_n est (n!), donc S_n n'est pas isomorphe à un groupe fini d'ordre n, sauf si n=1, 2 (cas triviaux)

C'est le même genre de confusion pour GL_n(K) : ici n n'est pas l'ordre du groupe, mais la taille des matrices ....

Si K= |R ou |C, GL_n(K) n'est pas un groupe fini, et ne peut donc en aucun cas etre isomorphe à un groupe fini. Pour s'en persuader, il suffit de voir qu'il existe un monomorphisme (cad homomorphisme injectif)
du groupe mutilplicatif K^* vers GL_n(K), qui envoie x vers la matrice diagonale formée des coefficients x,1,1....1.

Si K est corps fini, alors cette fois ci GL_n(K) est un groupe fini. Mais, sauf exception, son ordre est différent de n.
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lolo
Maître



Nombre de messages : 91
Date d'inscription : 12/12/2005

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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptyVen 14 Avr 2006, 14:29

Bonjour,

J'ai l'impression que toutes ses confusions viennent de deux termes "mathématiques " malheureux :

a) "ordre d'un groupe" --> confusion avec ordre des éléments, je préfère employé le non-équivoque "cardinal du groupe"

b) isomorphisme : là je me suis déjà fait avoir , en Anglais les "isomorphism" sont injectifs mais pas toujours surjectif .

lolo
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herdubreid
champion de la semaine



Nombre de messages : 19
Date d'inscription : 12/04/2006

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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptyVen 14 Avr 2006, 16:18

Je m'insurge ! Very Happy

En anglais, il y a 3 termes distincts :
- monomorphism ( pour les morphismes injectifs )
- epimorphism ( pour les morphismes surjectifs )
- isormophism ( pour les morphismes bijectifs )

Un " isomorphism " désigne toujours un morphisme bijectif !
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tµtµ
Maître



Nombre de messages : 195
Date d'inscription : 19/09/2005

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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptyVen 14 Avr 2006, 16:40

lolo a écrit:
b) isomorphisme : là je me suis déjà fait avoir , en Anglais les "isomorphism" sont injectifs mais pas toujours surjectif .lolo

Are you really sure lo² ?
http://mathworld.wolfram.com/Isomorphism.html


Quant à épi/mono (à l'origine simplifiable à gauche/droite) c'est pareil de surjectif/injectif dans plein de cas mais y'a des catégories où c'est faux, je crois bien (j'en suis sûr en faîte).


2•tµ
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herdubreid
champion de la semaine



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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes EmptyVen 14 Avr 2006, 16:47

Oui, je suis resté dans le cadre algébrique.

La signification de ces termes en théorie des catégories est (un petit peu) plus alambiquée, et revient à celle que j'ai indiquée quand on travaille dans la catégorie des groupes, anneaux, etc.....
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MessageSujet: Re: démonstration: un isomorphisme de groupes   démonstration: un isomorphisme de groupes Empty

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