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 E est fini

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aannoouuaarr
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Masculin Nombre de messages : 154
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MessageSujet: E est fini   E est fini EmptyDim 21 Oct 2007, 13:22

soit E un ensemble inclu ds l'interval [0,1] et contenant 0 et 1.montrer que les 2 propositions suivantes sont equivalentes:

(*) quelque soit x de [0,1], il existe a>0 tel que ]x-a,x+a[ contient au plus un element de E.
(**) l'ensemble E est fini.


Dernière édition par le Dim 21 Oct 2007, 19:33, édité 2 fois
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pco
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MessageSujet: Re: E est fini   E est fini EmptyDim 21 Oct 2007, 15:19

aannoouuaarr a écrit:
soit E un ensemble inclu ds l'interval [0,1] et contenant 0 et 1.montrer que les 2 propositions suivantes sont equivalentes:

(*) quelque soit x de E, il existe a>0 tel que ]x-a,x+a[ contient un seul element de E.
(**) l'ensemble E est fini.

Je pense que cela est faux.

Prendre par exemple E={1/2-1/n, n>1}U{1/2+1/n, n>1}
cardinal(E) est infini mais :
Pour x=1/2-1/n, on a ]x-1/(n+1)^2,x+1/(n+1)^2[ ne contient qu'un élément de E.
Pour x=1/2+1/n, on a ]x-1/(n+1)^2,x+1/(n+1)^2[ ne contient qu'un élément de E

--
Patrick
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aannoouuaarr
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MessageSujet: Re: E est fini   E est fini EmptyDim 21 Oct 2007, 19:34

desolé... g commi une petite erreur, jlé corrigé.
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pco
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MessageSujet: Re: E est fini   E est fini EmptyLun 22 Oct 2007, 06:49

aannoouuaarr a écrit:
soit E un ensemble inclu ds l'interval [0,1] et contenant 0 et 1.montrer que les 2 propositions suivantes sont equivalentes:

(*) quelque soit x de [0,1], il existe a>0 tel que ]x-a,x+a[ contient au plus un element de E.
(**) l'ensemble E est fini.

Avec cette modification, cela devient effectivement vrai :

(**) ==> (*) : prendre a< min(|x-y|/2, x dans E, y dans E, x différent de y)

Non (**) ==> Non (*) :
E infini ==> E possède un point d'acccumulation dans [0,1] et, pour ce point, il n'existe aucun a qui réponde à la question.

Donc (*) <=> (**)

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Patrick
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