Plusieurs Eq. Fonct assez simple

Salut je poste plusieurs equation fonctionelle... c'est enfait pour vérifier mes réponses (genre des fois oublier une petite solution ou oublier de traiter un cas Grrr) alors si quelqu'un veut les faire tant mieux je lui souhaite bien du plaisir
Vous en faites pas elles sont vraiment pas dur (c'est le début koua..)!!

1) f:R->R et Tout x,y in R t.q f(xy) = xf(x) + yf(y)

2) f:R->R et Tout x,y in R t.q f(x)*f(y) = f(x - y)

3) f:Z->Z et Tout n in Z et f(0)=1 t.q f(f(n)) = f(f(n + 2) + 2) = n

4) f:R->R et Tout x,y in R t.q f((x - y)^2) = x^2 - 2y*f(x) + (f(y))^2

5) Soit a une constante positive et f:R->R Tout x in R et f(x+ a) = 1/2 + sqrt[f(x) - f(x)^2]
a)Montrer que f est périodique
b) Trouver une telle fonction non-constante pour a=1

1) x=y=1 --> f(1)=0
y=0 ---> f(0)=xf(x) , x=1 ---> f(0)=0 ---> f=0

2) f(0)²=f(0) --> f(0)=0 ou 1
x=y ----> f(x)²=f(0) ---> f(x)=...

3) f(f(n))=n ==> f bijective ==> f(n+2) + 2 = f(n).
f(0) = f(f(1)) ==> f(1) = 0.
f(n+2)+2 = f(n) et f(1)=0 et f(0) = 1 ==> seule solution : f(x) = 1 - x.

4) x=y=0 ==> f(0)=0 ou f(0)=1.
x=y ==> f(x)²-2xf(x)+(x²-f(0))=0.
blablablabla
Bref, on trouve : f(x) = x et f(x) = x + 1.

Voilà

ps : si tu le veux vraiment, je peux te mettre la solution complète pour la 4), mais bon, comme tu as dit que tu voulais juste vérifier tes réponses..

ZeFilouX a écrit:

5) Soit a une constante positive et f:R->R Tout x in R et f(x+ a) = 1/2 + sqrt[f(x) - f(x)^2]
a)Montrer que f est périodique
b) Trouver une telle fonction non-constante pour a=1

a) - on a f(x+ a) = 1/2 + sqrt[f(x) - f(x)^2] ==> 1/2 =<f(x)=<1
f(x+2a)=f(x) ( vérifier la ) donc f est 2a-peridique

Merci bien à tous !

De rien.