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 problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )

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samir
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MessageSujet: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyLun 27 Mar 2006, 12:36

le problème de cette semaine est une equation fonctionnelle proposée aux olympiades du maroc
problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) Semainen226im

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Dernière édition par le Lun 03 Avr 2006, 12:29, édité 1 fois
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyLun 27 Mar 2006, 12:39

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Problème N°22   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyMar 28 Mar 2006, 15:35

Bonjour
Solution postée
A+

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وقل ربي زد ني علما
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toetoe
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MessageSujet: une petite suggestion   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyDim 02 Avr 2006, 17:38

bonjour ,

ça sera simpa si les administrateurs du site pose un probleme de la

semaine au niveau 1 ere .

merçi d'avance.
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyLun 03 Avr 2006, 12:27

la reponse de Mr abdelbaki est juste . et on laisse encore un peu de temps aux autres pour chercher meme si la semaine est terminée
A+

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MessageSujet: Re: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyMer 05 Avr 2006, 15:01

Bonjour, êtes vous sûr que ce problème est de niveau terminale? Et combien de temps avons nous normalement aux olympiades pour un tel exercice?
Merci d'avance
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyMer 05 Avr 2006, 16:31

cohlar a écrit:
Bonjour, êtes vous sûr que ce problème est de niveau terminale? Et combien de temps avons nous normalement aux olympiades pour un tel exercice?
Merci d'avance
salut et bienvenue parmi nous
un test d'olympiade contient 4 exercices doivent etre résoulu en 4 Heures

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MessageSujet: Re: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptySam 08 Avr 2006, 08:48

bonjour
f(n)=14
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MessageSujet: Re: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyDim 16 Avr 2006, 14:09

bonjour
j'aimerai avoir la solution de ce pb
merci
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MessageSujet: Re: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyLun 24 Avr 2006, 17:41

quand on aura la solution de ce pb?
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 )   problème N°22 de la semaine (27/03/2006-02/04/2006 ) EmptyLun 24 Avr 2006, 18:43

mt2sr a écrit:
quand on aura la solution de ce pb?
voici la solution proposée par Abdelbaki
Bonjour

Pour n>0 , f(n)>1
f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-168
f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)f(n+4)-168
==> f(n+2)-f(n)=f(n+3)(f(n+4)-f(n+2))

On pose a(n)=|f(2n+2)-f(2n)| et b(n)=|f(2n+1)-f(2n-1)| pour tout n>0.

On a alors 2a(n+1)=< a(n) (*). Donc lim a(n)=0
Mais, la suite (a(n)) est à valeurs entieres elle est alors stationnaire.
D'après (*) la constante ne peut être que nulle.
Donc a(n)=0 à partir d'un certain entier n_0.
Donc : f(2n)= f(2n-2))=...=f(2n_0+2))=f(2n_0)=a pour n>=n_0

De la même façon il existe n_1 > 1 tel que b(n)=0.
Donc f(2n+1)=f(2n-1)=...=f(2n_1+3)=f(2n_1+1)=b pour n>=n_1

si n>max(n_0,n_1),
f(2n)+f(2n+1)=f(2n+2)f(2n+3)-168
a+b=ab-168 et a,b entiers >1.
(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=13²
===> (a=b=14) ou (a=2 et b=170) ou (a=170 et b=2)

Si a=b=14, pour n tel que f(n+1)=f(n+2)=f(n+3)=14
on a f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-168
alors f(n)= 14²-14-168=14
On refait la même chose pour n-1, on trouve f(n-1)=14
ainsi de suite on a donc f(n)=14 pour tout n>0.

Si a=2 et b=170, pour n tel f(2n+2)=2 et f(2n+1)=f(2n+3)=170
f(2n)+170=340-168=172 ==> f(2n)=2
f(2n-1)+2=340-168=172 ==> f(2n-1)=170
ainsi de suite on aura:
f(2n)=2 et f(2n-1)=170 pour tout n>0.

Si a=170 et b=2, c'est le même cas ci dessus en échangeant a et b.
Donc f(2n-1)=2 et f(2n)=170 pour tout n>0.

A+

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