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 Equation Sur N

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Nea®
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MessageSujet: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 11:58

Résoudre sur N :

[(1+(2)^(1/2)]^2007=a+b(2)^1/2 , (a,b)apartient à N² .

Merci D'avance
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 12:03

Bonne chance ^
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rockabdel
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:05

a=b=3^1003
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Nea®
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:06

oui mais la demonstration ??
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rockabdel
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:16

on utilise le binome de newton et puis on trie les puissances paires et impaires (pr avoir des nombres entiers) et puis le resultat.
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:24

Nea® a écrit:
Résoudre sur N :
[(1+(2)^(1/2)]^2007=a+b(2)^1/2 , (a,b)apartient à N² .
Merci D'avance

On démontre par récurrence sur n ( ou DIRECTEMENT par le Binôme comme suggéré par Rockabdel ) que :
(1+rac2)^n =An+(rac2).Bn avec An et Bn dans IN
de plus :
(1-rac2)^n=An-(rac2).Bn pour tout n dans IN
Par multiplication membre à membre , on obtient une relation intéressante : (An)^2-2.(Bn)^2=(-1)^n
Cette relation devrait servir pour la résolution du Pb posé par Nea®
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Dernière édition par le Mer 31 Oct 2007, 23:27, édité 1 fois
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rockabdel
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:28

Jolie Methode!
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:35

rockabdel a écrit:
Jolie Methode!

Je n'ai pas résolu l'équation de Nea® !!!!!
On a donc A(2007)=a et B(2007)=b
puis a^2-2.b^2=(-1)^(2007=-1
Que faut-il invoquer de + pour avoir a et b sans équivoque ???
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:38

a^2-2b^2=-1
mais dis moi comment t'as fait pour le : (1-rac2)^n=An-(rac2).Bn pour tout n dans IN
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:47

Nea® a écrit:
......
mais dis moi comment t'as fait pour le : (1-rac2)^n=An-(rac2).Bn pour tout n dans IN
Pour calculer (1+rac2)^n
Rockabdel a expliqué la méthode par le BINOME de NEWTON
(1+rac2)^n= SIGMA {k=0 à n ; C(n;k).(rac2)^k}
Tu regrouperas en deux paquets les parties correspondantes aux indices k PAIRS et celle correspondante aux indices k IMPAIRS
Le 1er Paquet te donnera An
Le second te donnera (rac2).Bn
Que se passera-t-il si tu veux maintenant évaluer (1-rac2)^n
Eh Bien c'est la même chose que l'expression de (1+rac2)^n SAUF qu'on a changé rac2 par -rac2
Ce changement ne modifiera pas An mais changera Bn en son OPPOSE !!
Voilà Tout !!
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:48

on a po fait le BINOM de Newton
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 22:58

Utilises donc le
raisonnement par récurrence
que j'ai suggéré pour montrer que :
(1+rac2)^n=An+(rac2).Bn avec An et Bn dans IN pour tout n
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 23:09

oui mé je me demande comment tu eu la deusieme egalité
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 23:25

Oeil_de_Lynx a écrit:
Utilises donc le
raisonnement par récurrence
que j'ai suggéré pour montrer que :
(1+rac2)^n=An+(rac2).Bn avec An et Bn dans IN pour tout n
A+ LHASSANE

Tu trouveras alors :
A0=1 et B0=0
puis :
An+1=An+2Bn et Bn+1=An+Bn
Tu peux alors démonter par récurrence sur n que :
An^2-2.Bn^2=(-1)^n
Maintenant , tu écriras :
(1-rac2)^n=(-1)^n/{1+rac2}^n=(-1)^n/{An+(rac2).Bn}
Tu utilises ensuite la partie conjuguée
1/{An+(rac2).Bn}^n={An-(rac2).Bn}/{(An+(rac2).Bn).(An-(rac2).Bn}
={An-(rac2).Bn}/{(An^2-2.Bn^2}
={An-(rac2).Bn}/{(-1)^n}=(-1)^n.{An-(rac2).Bn}
d'ou (1-rac2)^n= An-(rac2).Bn
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyMer 31 Oct 2007, 23:56

c dure ça !!!
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rockabdel
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N EmptyJeu 01 Nov 2007, 06:58

Si T en terminal SM Vs devez avoir etudie le binome de newton ( dans le denombrement )
k
C
n
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MessageSujet: Re: Equation Sur N   Equation Sur N Empty

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