BJR imane20 !!! Je te propose .....
1) Puisque f est croissante ( cela marche aussi si f était decroissante ) , alors pour tout x dans [0,T]
on a 0<=x<=T d'ou f(0)<=f(x)<=f(T)
Dans (i) on fait x=0 pour obtenir f(0)=f(T)
par conséquent si 0<=x<=T on a f(x)=f(0)=f(T) .
2) Pour tout x dans IR , montrons par récurrence sur n entier que : f(x+nT)=f(x)
Pour n=0 c'est trivial f(x)=f(x)
et le reste de la démo se déduit de la relation
f(x+(n+1)T)=f(x+nT+T)=f(x+nT)=.....=f(x)
Il reste à voir pour les n négatifs ???
Donc par récurrence ou autre , prouver que :
f(x-nT=f(x) pour tout entier naturel n ???
3) Pour tout x dans IR , il suffit de considérer no=E(x/T)
c'est la partie entière de x/T ( T>0 )
on sait que no<=x/T<no+1 donc no.T<=x<no.T+T cela signifie bien que : x appartient à [no.T;no.T+T[
4) Poses donc x=noT +xo avec xo=x-no.T est dans [0;T[ alors d'après la question 2)
f(x)=f(no.T+xo)=f(xo)
et selon la question 1) f(xo)=f(0)
donc f(x)=f(0)= CONSTANTE
A+ LHASSANE
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