Problème de Novembre 2007

Vu que personne n'a trouvé la solution du problème d'otobre 2007.
Le même problème est proposé pour ce mois mais détaillé.

Soit (f_n) une suite de fonctions continues de [0,1] dans lui-même
telle que f_n(x) --> 0 qqs x dans [ 0,1] et que la suite des integrales :
(int de 0 à 1 )f_n(t)dt converge vers un réel a.
Soit K_n l'enveloppe convexe de {f_p / p>=n}
et d_n=inf {(int de 0 à 1 )g²(t)dt /g€K_n}
1) Montrer que la suite (d_n) est convergente dans IR.
2) Montrer que qqs n il existe g_n€K_n tq

3) Montrer que la suite (g_n) vérifie les mêmes hypothèse que (f_n)
4) Montrer qu'il existe une suite extraite (h_n) de (g_n) telle
(int de 0 à 1 )h_n(t)dt converge vers 0. En déduire la valeur de a.

Salut,
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1) La suite (K_n) est décroissante et qqs g dans K_n , 0=<g=<1.
==>(d_n) croissante et 0=<d_n=<1 qqs n.
==> (d_n) converge.
2) Caractérisation de l'inf.
3) Pour tout n, g_n est une combinaison linéaire ( finie) des des f_p, p>=n . Donc ...
4) pour n>m,
(g_n(t)+g_m(t))²+(g_n(t)-g_m(t))²=2(g_n(t)²+g_m(t)²)
==> (int de 0 à 1 )|g_n(t)-g_m(t))|dt =< 2/(m+1)^(1/2)
...