compact

slt tous le monde si voulez bien me lancer la solution de cet exercice
Soit (E,d) un metrique et (Kn) est une suite decroissante de compact non vide tel que k est lintersection de (Kn)
1. mq K est un compact non vide .
2.soit O un ouvert contenant K, montrons qu' il existe N tel que qelque soit n>N Kn inclus dans O.
3. on deduire que l'intersection d'une suite decroissante de compact connexe est connexe.

Classique!
1) il est claire que k=intersection des k_n est compact ( car fermé dans un compact)
si k =vide ==> k_0=réunion des (E\k_n) pour n>0. ==> on peut extraire un recouvrement fini
==> k_0=(réunion de k=1 à N) des (E\k_n) = E\k_N ( (k_n ) décroissante
==> k_N=k_0 n k_N=vide absurde.
2) même raisonnement que 1) avec E=O
3) si k=F_1 u F_2 où les F_i sont des fermées disjoints de k (donc de E). il existent deux ouverts disjoints O_1 et O_2 tq
F_1 c O_1 et F_2c O_2.
D'prés 2) il existe m tq k_m c O_1uO_2
or k_m est connexe ==>k_m c O_1 ou k_m c O_2
==> F_1=vide ou F_2=vide