groupes

[b]soit (G,.) un groue fini d'orde paire e l'élément neutre de G.
montrez que la partie A= {x élément de G tel que: x² est different de e} est de cardinal paire.
en deduire qu'il existe un élément de G d'ordre 2.[/b]

|G| = 2n

A = { x € A, x² = e }
B = { x € A, x² != e }

B est cardinal pair vu que si x € B alors x^{-1} € B et x != x^{-1}

2n = |A| + |B| donc |A| est de cardinal pair aussi. Comme e € A, |A| >= 2 et donc il existe x € A, x != e et x² = e.

Plus général :
soit (G,.) un groue fini d'orde n et p premier divise n.
===>il existe un élément de G d'ordre p.