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 problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )

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samir
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samir

Nombre de messages : 1872
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MessageSujet: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) EmptyLun 03 Avr 2006, 12:31

problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) Semainen239ca
BONNE CHANCE

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وتوكل على الحي الذي لا يموت وسبح بحمده


Dernière édition par le Lun 10 Avr 2006, 11:15, édité 1 fois
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) EmptyLun 03 Avr 2006, 12:31

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir le condition de participation
Merci

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cohlar
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cohlar

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MessageSujet: Re: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) EmptyMer 05 Avr 2006, 15:26

Solution postée
voici la solution de cohlar
m et n étant deux entiers naturels non tous deux nuls, tous leurs diviseurs communs sont les diviseurs de leur PGCD. Il est clair que si m=n, les deux nombres étant identiques, P(m)=P(n). Si n<m, alors PGCD(m;n)<m donc m n'appartient pas à l'ensemble des diviseurs communs à m et à n donc m et n n'ont pas les mêmes diviseurs communs. Or s'ils n'ont pas les mêmes diviseurs, le produit de ses diviseurs ne sera pas le même, donc P(m)=P(n) si et seulement si m=n.

S'il manque quelque chose à ma démonstration (j'ai l'impression qu'il faut démontrer "s'ils n'ont pas les mêmes diviseurs, le produit de ses diviseurs ne sera pas le même" mais je ne sais pas comment), j'attend vivement la solution ^^.

Merci pour ce problème!
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) EmptyJeu 06 Avr 2006, 21:23

Bonsoir
Solution postée
voici la solution de abdelbaki attioui
Soient m,n>0 tels que P(n)=P(m).
Il est clair que si p est un diviseur de P(n), alors p divise n.
Donc m et n ont les mêmes diviseurs premiers.
Le Th. de décomposition en facteurs premiers donne :
n=p_1^a_1 ...p_s^a_s avec a_i>=1.
m=p_1^b_1 ...p_s^b_s avec b_i>=1.

Or tout diviseur d de n s'écrit : d=p_1^c_1 ...p_s^c_s avec
a_i>=c_i>=0.
Donc P(n) est de la forme : P(n)=p_1^d_1 ...p_s^d_s.
Pour calculer d_i, on fixe k dans {0,1,..,a_1} il y a exactement
(a_2+1)...(a_s+1) diviseurs pour lesquels c_1=k. Lorsque l’on multiplie
tous
ces diviseurs, on aura donc:
d_1=(a_2+1)...(a_s+1)(1+2+...+a_1)=a_1(a_1+1)(a_2+1)...(a_s+1)/2
De manière similaire : d_i=a_i(a_1+1)(a_2+1)...(a_s+1)/2.

Si on désigne par t(n) le nombre de tous les diviseurs >0 de n ,
alors P(n)²=n^(t(n)).

On a pour tout i : a_it(n)=b_it(m) . On pose : r= t(m)/t(n).
(on peut supposer r>=1 , il suffir d'échanger les rôles de m et n)
Mais a_i=rb_i donne en remplaçant
r(rb_1+1)(rb_2+1)...(rb_s+1)=(b_1+1)(b_2+1)...(b_s+1) on ne peut avoir
r>1.
On a donc r=1. c-à-d t(n)=t(m) et parsuite m=n.
A+

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وقل ربي زد ني علما


Dernière édition par le Mar 11 Avr 2006, 11:08, édité 1 fois
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toetoe
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toetoe

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Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Re: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) EmptyJeu 06 Avr 2006, 21:55

salut,
solution postée
voici la solution de toetoe
supposons que P(n) = P(m) .

donc le produit des diviseurs de m = le produit des diviseurs de n
(1) .

un diviseur d'un nombre K n'est qu'un produit de nombres premiers
divisant K
(2) .

(2) et (1) => que m et n ont les memes nombres premiers qui les
divisent
(3).

(3) => m = n.
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mt2sr
Maître
mt2sr

Masculin Nombre de messages : 104
Date d'inscription : 16/01/2006

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MessageSujet: Re: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) EmptyVen 07 Avr 2006, 21:50

bonsoir
solution postée
voici la solution de mt2sr
http://cjoint.com/?ekjXaXxwlJ
@+
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Simo
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MessageSujet: Re: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) EmptyDim 09 Avr 2006, 16:17

Heya
"solution postée"
Seya
la solution du simo::

n appartient a P(n)=P(m) donc n/m
Or m appartient a P(m)=P(n) donc m/n
d'ou n=m !

By the way , can u send us a mail when there is a new challenge ? !
thx
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Masculin Nombre de messages : 967
Age : 31
Date d'inscription : 31/10/2005

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MessageSujet: Re: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) EmptyDim 09 Avr 2006, 16:58

Well, I don't know if it'd be a really good idea...
Indeed, you know that there is a new challenge every week, so, you just have to check it each week, hence, a mail is not really necessary... Wink

On a side note, where do you come from? And how did you get the address of this forum? Smile

See you around!
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Simo
Débutant


Nombre de messages : 2
Date d'inscription : 09/04/2006

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MessageSujet: Re: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) EmptyLun 10 Avr 2006, 18:03

OKey !
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MessageSujet: Re: problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )   problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 ) Empty

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