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 termes consecutifs

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aannoouuaarr
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Masculin Nombre de messages : 154
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MessageSujet: termes consecutifs   termes consecutifs EmptyLun 12 Nov 2007, 23:48

une suite d'entier naturel strictement croissante est definie par
la donnée des deux premiers termes et verifiant : un entier est
un terme de la suite si et seulement s'il est la somme de deux autres
termes de cette suite.
montrer que les termes de la suite sont consecutifs a partir d'un certain
rang si et seulement si les deux premiers termes sont premiers entre eux.
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methenniachref
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MessageSujet: Re: termes consecutifs   termes consecutifs EmptyDim 22 Mar 2009, 18:11

soient p et q les 2 premiers termes de la suite .
les termes de la suite sont exactement les mp+nq avec n et m des ENTIERS NATURELS
1) p et q premiers entre eux , implique (identité de Bezout)
il existent a et b dans Z (je dis bien Z) tels que ap+bq=1
(a et b pouvant etre négatifs),
pour m=a+1 et n=b+1 , donc à partir du rang c=(lal+1)p+(lbl+1)q , on a: on a c+1=(lal+1+a)p+(lbl+1+b)q avec (lal+1+a) (lbl+1+b) sont des ENTIERS NATURELS , donc c+1 est un terme d la suite, et de meme pour c'=c+1.d'ou le premier sens
2) inversement s'il existe un rang c tels que les termes de la suite sont consécutifs :
c=mp+nq , n et m des entiers naturels.
on a c+1 est un terme de la suite implique c+1=ap+bq
d'autre part c+1=mp+nq +1
par identification on a mp+nq+1=ap+bq
donc (a-m)p+(b-n)q=1 avec (a-m) et (b-n) dans z
conclusion p et q sont premiers entre eux.
d'ou le resultat
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Oeil_de_Lynx
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Oeil_de_Lynx

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MessageSujet: Re: termes consecutifs   termes consecutifs EmptyDim 22 Mar 2009, 19:38

methenniachref a écrit:
soient p et q les 2 premiers termes de la suite .
les termes de la suite sont exactement les mp+nq avec n et m des ENTIERS NATURELS
1) p et q premiers entre eux , implique (identité de Bezout)
il existent a et b dans Z (je dis bien Z) tels que ap+bq=1
(a et b pouvant etre négatifs),
pour m=a+1 et n=b+1 , donc à partir du rang c=(lal+1)p+(lbl+1)q , on a: on a c+1=(lal+1+a)p+(lbl+1+b)q avec (lal+1+a) (lbl+1+b) sont des ENTIERS NATURELS , donc c+1 est un terme d la suite, et de meme pour c'=c+1.d'ou le premier sens
2) inversement s'il existe un rang c tels que les termes de la suite sont consécutifs :
c=mp+nq , n et m des entiers naturels.
on a c+1 est un terme de la suite implique c+1=ap+bq
d'autre part c+1=mp+nq +1
par identification on a mp+nq+1=ap+bq
donc (a-m)p+(b-n)q=1 avec (a-m) et (b-n) dans z
conclusion p et q sont premiers entre eux.
d'ou le resultat

BSR à Toutes et Tous !!
BSR methenniachref !!
J'ai entièrement lu Votre Démo !
Cependant , il y a un point sur lequel , je ne suis pas d'accord avec Vous !!! Vous CONJECTUREZ dès le début de votre Contribution quelquechose qui est LOIN d'être JUSTIFIEE à savoir :

<< les termes de la suite sont exactement les mp+nq avec n et m des ENTIERS NATURELS >>

Quelques explications ??? Et Merci !!!
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methenniachref
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MessageSujet: Re: termes consecutifs   termes consecutifs EmptyDim 22 Mar 2009, 20:51

je me suis basé sur le fait qu'un entier est terme de la suite si il est somme de deux autres termes de la suites. à la main ,en partant d'un exemple de 2 1ers termes , je me suis mis à construire la suite demandée , et j'ai remarqué qu'en faite , sommer des TERMES quelconques DE LA SUITE revient à sommer des multiples des 2 premiers termes.
g trouvé le resultat en se basant sur un exemple, mais une démonstration par recurrence est possible :
soient p et q les 2 premiers termes de la suite U, tels que U0=p<U1=q ,
on a pour n=0 U0 est bien de la forme mp+nq, avec m=1 et n=0
pour n un entier naturel,supposons que Uk est de la forme mp+nq
pour tout k inférieur ou égal à n (recurrence forte),
alors U(n+1) est , par définition (puisque la suite est (STRICTEMENT CROISSANTE)), la plus petite somme de 2 des Uk (pour k inférieur à n) strictement supérieur à Un , d'après l'hypothèse de recurrence on déduit que la somme aussi , de 2 des Uk (pour k inférieur à n) est de la forme mp+nq, et par suite U(n+1) est de la forme mp+nq.
d'ou le résultat par recurrence
j'espère avoir été clair
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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: termes consecutifs   termes consecutifs EmptyDim 22 Mar 2009, 21:19

BSR de nouveau !!
Je préfère celà !!

Il n'est pas INTERDIT de CONJECTURER , cependant il reste à prouver !!

Au passage que vaut U2 au juste ????
Moi , je dis qu'OBLIGATOIREMENT U2=p+q
C'est à partir de U3 que les choses sont susceptibles de changer ..

Allé Bonne Soirée & Bonne Reprise !!
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methenniachref
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MessageSujet: Re: termes consecutifs   termes consecutifs EmptyDim 22 Mar 2009, 21:35

oui U2=p+q OBLIGATOIREMENT,U3=2p+q ou bien 3pou... etc...
ce que vous dites est vrai , il faut démontrer tout ce qui demande d'être démontré.
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MessageSujet: Re: termes consecutifs   termes consecutifs Empty

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