termes consecutifs

soient p et q les 2 premiers termes de la suite .
les termes de la suite sont exactement les mp+nq avec n et m des ENTIERS NATURELS
1) p et q premiers entre eux , implique (identité de Bezout)
il existent a et b dans Z (je dis bien Z) tels que ap+bq=1
(a et b pouvant etre négatifs),
pour m=a+1 et n=b+1 , donc à partir du rang c=(lal+1)p+(lbl+1)q , on a: on a c+1=(lal+1+a)p+(lbl+1+b)q avec (lal+1+a) (lbl+1+b) sont des ENTIERS NATURELS , donc c+1 est un terme d la suite, et de meme pour c'=c+1.d'ou le premier sens
2) inversement s'il existe un rang c tels que les termes de la suite sont consécutifs :
c=mp+nq , n et m des entiers naturels.
on a c+1 est un terme de la suite implique c+1=ap+bq
d'autre part c+1=mp+nq +1
par identification on a mp+nq+1=ap+bq
donc (a-m)p+(b-n)q=1 avec (a-m) et (b-n) dans z
conclusion p et q sont premiers entre eux.
d'ou le resultat

methenniachref a écrit:

soient p et q les 2 premiers termes de la suite .
les termes de la suite sont exactement les mp+nq avec n et m des ENTIERS NATURELS
1) p et q premiers entre eux , implique (identité de Bezout)
il existent a et b dans Z (je dis bien Z) tels que ap+bq=1
(a et b pouvant etre négatifs),
pour m=a+1 et n=b+1 , donc à partir du rang c=(lal+1)p+(lbl+1)q , on a: on a c+1=(lal+1+a)p+(lbl+1+b)q avec (lal+1+a) (lbl+1+b) sont des ENTIERS NATURELS , donc c+1 est un terme d la suite, et de meme pour c'=c+1.d'ou le premier sens
2) inversement s'il existe un rang c tels que les termes de la suite sont consécutifs :
c=mp+nq , n et m des entiers naturels.
on a c+1 est un terme de la suite implique c+1=ap+bq
d'autre part c+1=mp+nq +1
par identification on a mp+nq+1=ap+bq
donc (a-m)p+(b-n)q=1 avec (a-m) et (b-n) dans z
conclusion p et q sont premiers entre eux.
d'ou le resultat

BSR à Toutes et Tous !!
BSR methenniachref !!
J'ai entièrement lu Votre Démo !
Cependant , il y a un point sur lequel , je ne suis pas d'accord avec Vous !!! Vous CONJECTUREZ dès le début de votre Contribution quelquechose qui est LOIN d'être JUSTIFIEE à savoir :

<< les termes de la suite sont exactement les mp+nq avec n et m des ENTIERS NATURELS >>

Quelques explications ??? Et Merci !!!

je me suis basé sur le fait qu'un entier est terme de la suite si il est somme de deux autres termes de la suites. à la main ,en partant d'un exemple de 2 1ers termes , je me suis mis à construire la suite demandée , et j'ai remarqué qu'en faite , sommer des TERMES quelconques DE LA SUITE revient à sommer des multiples des 2 premiers termes.
g trouvé le resultat en se basant sur un exemple, mais une démonstration par recurrence est possible :
soient p et q les 2 premiers termes de la suite U, tels que U0=p<U1=q ,
on a pour n=0 U0 est bien de la forme mp+nq, avec m=1 et n=0
pour n un entier naturel,supposons que Uk est de la forme mp+nq
pour tout k inférieur ou égal à n (recurrence forte),
alors U(n+1) est , par définition (puisque la suite est (STRICTEMENT CROISSANTE)), la plus petite somme de 2 des Uk (pour k inférieur à n) strictement supérieur à Un , d'après l'hypothèse de recurrence on déduit que la somme aussi , de 2 des Uk (pour k inférieur à n) est de la forme mp+nq, et par suite U(n+1) est de la forme mp+nq.
d'ou le résultat par recurrence
j'espère avoir été clair

BSR de nouveau !!
Je préfère celà !!

Il n'est pas INTERDIT de CONJECTURER , cependant il reste à prouver !!

Au passage que vaut U2 au juste ????
Moi , je dis qu'OBLIGATOIREMENT U2=p+q
C'est à partir de U3 que les choses sont susceptibles de changer ..

Allé Bonne Soirée & Bonne Reprise !!

oui U2=p+q OBLIGATOIREMENT,U3=2p+q ou bien 3pou... etc...
ce que vous dites est vrai , il faut démontrer tout ce qui demande d'être démontré.