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salam 21
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MessageSujet: exo   exo EmptyMer 14 Nov 2007, 10:44

on considere: § a un reel strictement positif
§ la suite (Vn)n£IN definie par tel qu'il soit n£IN, Vn+1=1+a/Vn avec Vo>0
§ la fonction Ga definie par tel qu'il soit x£IR*+ Ga(x)=1+a/x
determiner : * les points fixes (Ma)de Ga sur IR*+
* le tableau de variation de Ga sur IR*+
* le tableau de signe de x------>Ga(x)-x sur IR*+
Verifier que GaoGa=Fa=[(a+1)+a]/x+a
on suppose que Vo£]0,Ma] : * Montrer que les 2 suites (V2n)n£IN et (V2n+1)n£IN sont monotones et donner leurs monotonies respectives
*Etablir la convergence de la suite (Vn)n£IN et preciser se limite
etudier la convergence de la suite (Vn)n£IN lorsque Vo£[Ma,+00[
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rockabdel
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MessageSujet: Re: exo   exo EmptyMer 14 Nov 2007, 15:32

Classique!
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rockabdel
Maître


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MessageSujet: Re: exo   exo EmptyMer 14 Nov 2007, 15:33

Ils auraient pu donner l'exo sans etablire ttes Ces etapes
L'etude de la convergence seulement
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Bison_Fûté
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Bison_Fûté

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MessageSujet: Re: exo   exo EmptyVen 16 Nov 2007, 21:23

BSR salam 21
Voilà un embryon de réponse!!
salam 21 a écrit:
on considere: § a un reel strictement positif
§ la suite (Vn)n£IN definie par tel qu'il soit n£IN, Vn+1=1+a/Vn avec Vo>0
Ta suite est une suite dite RECURRENTE parfaitement répertoriée et maitrisée !!!!
salam 21 a écrit:
§ la fonction Ga definie par tel qu'il soit x£IR*+ Ga(x)=1+a/x
determiner : * les points fixes (Ma)de Ga sur IR*+
Résouds l’équation Ga(x)=x dans IR* elle a 2solutions l1=(1/2).{1+rac(1+4a)}et l2=(1/2).{1-rac(1+4a} donc Ma=l1 .
salam 21 a écrit:
* le tableau de variation de Ga sur IR*+
Ga est strictement décroissante sur R+* , elle admet une asymptote verticale d’équation x=0 et une autre horizontale d’équation y=1 ;la courbe est au dessus de cette asymptote .
salam 21 a écrit:
* le tableau de signe de x------>Ga(x)-x sur IR*+
Ga(x)-x a le sgn de –x^2+x+a ; donc entre 0 et Ma c’est POSITIF et NEGATIF si x>=Ma .
salam 21 a écrit:
Verifier que GaoGa=Fa=[(a+1)+a]/x+a
ERREUR !! GaoGa(x)=Fa(x)=(ax+x+a)/(a+x)=1+(ax)/(a+x)
salam 21 a écrit:
on suppose que Vo£]0,Ma] : * Montrer que les 2 suites (V2n)n£IN et (V2n+1)n£IN sont monotones et donner leurs monotonies respectives
Il faut faire un dessin et voir puis prouver que les 2 sous-suites {V2n} et {V2n+1} << s’enroulent autour du point (Ma,Ma) >> et sont MONOTONES et de sens de variations opposés
{V2n} est CROISSANTE et l’autre DECROISSANTE , remarquer que :
V2n+2=Fa(V2n) et V2n+3=Fa(V2n+1) et que Fa est strictement croissabte ; elles sont adjascentes et convergent toutes les 2 vers Ma donc la suite globale {Vn} converge aussi vers Ma.

salam 21 a écrit:
etudier la convergence de la suite (Vn)n£IN lorsque Vo£[Ma,+00[
On aura les mêmes conclusions sauf que cette fois {V2n}sera DECROISSANTE et {V2n+1} sera CROISSANTE , toutes les 2 convergeront vers Ma.
A+ BOURBAKI


Dernière édition par le Ven 16 Nov 2007, 22:05, édité 2 fois
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salam 21
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MessageSujet: Re: exo   exo EmptyVen 16 Nov 2007, 21:32

merci bien
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